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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.20. Hallar el valor de k∈R+k \in \mathbb{R}^{+} para que el área de la región limitada por los gráficos de f(x)=kx3,y=8f(x)=k x^{3}, y=8 y el eje de ordenadas valga 12.

Respuesta

Otro ejercicio clave para resolver, lo vamos a hacer siguiendo los mismos razonamientos del Ejercicio anterior (y que también vimos en la clase "Hallar aa para que el área encerrada entre dos funciones sea...")

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=kx3f(x) = kx^3 y g(x)=8g(x) = 8

y además, nos imponen el límite de integración x=0x=0 (el eje de ordenadas es el eje yy)

Entonces, arrancamos buscando puntos de intersección:

kx3=8kx^3 = 8

Pasamos kk dividiendo, lo podemos hacer sin problemas porque sabemos que k∈R+k \in \mathbb{R}^{+}, es decir, es un número real positivo, no vale cero. 

x3=8kx^3 = \frac{8}{k}

Aplicamos raíz cúbica en ambos miembros:

x=2k3 x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}}

Por lo tanto, ff y gg se intersecan en x=2k3 x = \frac{2}{\sqrt[3]{k}} (que es un número mayor a cero, lo ves?)

Ahora, techo y piso... Lo podemos ver de varias formas, una es recordando cómo era el gráfico de x3x^3, eso te va a ayudar un montón a ver que necesariamente x3x^3 es piso y y=8y = 8 es techo. Analíticamente también lo podés pensar, yo creo que gráficamente se entiende mejor igual 😉

Planteamos ahora la integral del área:

A=∫02k3(8−kx3) dxA = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx

Resolvemos la integral, acordate que kk es simplemente un número, esta es una integral de tabla :)

A=∫02k3(8−kx3) dx=(8x−k⋅ x44)∣02k3= 8⋅ 2k3− k⋅ (2k3)44 A = \int_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} (8 - kx^3) \, dx = (8x - k\cdot \frac{x^4}{4}) \Big|_{0}^{\frac{2}{\sqrt[3]{k}}} = 8 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4} 

Vamos a reacomodar un poco este resultado (atenti, varias reglas de potenciación usamos acá)

8⋅2k3− k⋅(2k3)44= 16k3− k4⋅24(k1/3)4= 16k3− k4⋅16k4/3= 16k3− 4k1/3= 16k3− 4k1/3=12k1/38 \cdot \frac{2}{\sqrt[3]{k}} - k\cdot \frac{(\frac{2}{\sqrt[3]{k}})^4}{4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{2^4}{(k^{1/3})^4} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{k}{4} \cdot \frac{16}{k^{4/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{16}{\sqrt[3]{k}} - \frac{4}{k^{1/3}} = \frac{12}{k^{1/3}}

Ahora igualamos el resultado del área a 1212:

12k1/3 =12 \frac{12}{k^{1/3}} = 12

1=k31 = \sqrt[3]{k}

Elevamos al cubo ambos miembros:

k=1k = 1

Por lo tanto, si k=1k = 1 el área encerrada vale exactamente 1212.
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Valentina
22 de octubre 21:16
Hola Flor, como estas? cuando despeje k me quedo en 2, pero solo consigo el área encerrada y no el valor de k.
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Flor
PROFE
24 de octubre 7:44
@Valentina Hola Valen! Ay no estoy entendiendo qué hiciste, porque por un lado entiendo que k te dio 2, pero después que no conseguiste el valor de k jaja... o sea, vos al resolver la integral obtenes primero el área encerrada (que depende de k), a eso lo igualamos a 12 (porque queremos que el área valga 12) y de ahí despejamos k 

Fijate muy bien en este ejercicio que, una vez que calculamos la integral (esa es el área, que nos quedó dependiendo de k) en el siguiente renglón nos dedicamos a reescribir bien ese resultado, usando reglas de potencias, para que nos quede más cómodo en el siguiente paso igualar el resultado a 12 y despejar k 
0 Responder
Valentina
24 de octubre 20:54
@Flor ay flor no se que hice mal :( , te paso foto de como lo hice .2024-10-24%2020:53:35_7546003.png
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