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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 6 - Aplicaciones de la Integral

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6.19. Dada la curva f(x)=ax−x2f(x)=a x-x^{2}, hallar el valor de a∈R+a \in \mathbb{R}^{+} tal que el área encerrada entre la curva y el eje de abscisas sea 36. Representar la curva y el área.

Respuesta

Este tipo de ejercicios es muy común que aparezca en parciales, así que atenti. Te recomiendo que primero hayas visto la clase donde resolvemos el ejercicio "Hallar aa para que el área encerrada entre dos funciones sea...", ahí charlamos bien cómo encararlos. 

En este caso tenemos dos funciones involucradas:

f(x)=ax−x2f(x) = ax-x^2 y g(x)=0g(x) = 0 (si, el eje de abscisas es el eje xx)

Entonces, vamos a encarar este ejercicio como siempre, obtendremos el área que seguramente nos quede dependiendo de aa y, al final, pediremos que esta área valga 3636 y de ahí despejamos aa 😉 Este sería el plan a seguir jeje arrancamos buscando los puntos de intersección entre ff y gg

ax−x2=0ax-x^2 = 0

x(a−x)=0x (a -x) = 0

Las soluciones de esta ecuación son x=0x=0 y x=ax=a. Estos son los puntos de intersección entre ff y gg. 

Aclaración: Fijate que nos dicen que a∈R+a \in \mathbb{R}^{+}, es decir, sabemos que a>0a >0. Esto lo vamos a tener que tener en cuenta ahora para armarnos la integral del área. 

Ahora, tema techo y piso... No sabemos el valor de aa pero pensemos en los gráficos de las funciones: ff es una parábola carita triste (cóncava hacia abajo) y tiene raíces en x=0x=0 y x=ax=a. Te das cuenta que no queda otra opción que, en el intervalo (0,a)(0,a) la parábola sea techo y el eje xx sea piso? Haceme caso, hacé el gráfico y lo vas a ver enseguida. 

Entonces, la integral del área nos queda así:

A=∫0a(ax−x2−0) dxA = \int_{0}^{a} (ax - x^2 - 0) \, dx

Ahora resolvemos la integral, que es de tabla (acordate que aa es simplemente un número)

∫0a(ax−x2) dx= a2x2−13x3 ∣0a= a32−a33=  a36\int_{0}^{a} (ax - x^2) \, dx = \frac{a}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{a} = \frac{a^3}{2} - \frac{a^3}{3} =  \frac{a^3}{6}

Perfecto, calculamos el área y nos dio que es a36\frac{a^3}{6}

Ahora, nosotros queríamos que fuera 3636, así que pedimos eso, despejamos aa y ya estamos 😉

a36=36\frac{a^3}{6} = 36 a3=216a^3 = 216 a=2163a = \sqrt[3]{216} a=6a = 6

Por lo tanto, el valor de aa que necesitamos para que el área encerrada sea 3636 es a=6a = 6.
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