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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.5.
Calcular:
b) $\int \ln (\sin(\theta)) \cot(\theta) d \theta$
b) $\int \ln (\sin(\theta)) \cot(\theta) d \theta$
Respuesta
La integral que queremos resolver es esta:
$ \int \ln(\sin(\theta)) \cot(\theta) d\theta $
Primero, acordate como escribimos la cotangente ($\cot(\theta)$)
$ \cot(\theta) = \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} $
Sustituimos $\cot(\theta)$ en la integral:
$ \int \ln(\sin(\theta)) \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta $
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Ahora tomamos la sustitución
$u = \sin(\theta)$
$du = \cos(\theta) \, d\theta$
La integral en términos de $u$ nos queda:
$ \int \ln(\sin(\theta)) \frac{\cos(\theta)}{\sin(\theta)} d\theta = \int \ln(u) \frac{1}{u} du = \int \frac{\ln(u)}{u} du$
Esta integral ya la resolvimos en el Ejercicio 3.d y sale por sustitución. Así que si, tenemos que volver a aplicar otra sustitución más, tomamos:
$t = \ln(u)$
$dt = \frac{1}{t} \, du$
Escribimos la integral en términos de $t$
$\int \frac{\ln(u)}{u} du = \int t \, dt = \frac{t^2}{2} + C$
Entonces ya tenemos el resultado... escrito en la variable $t$, ahora tenemos que volver para atrás, primero lo escribimos en términos de $u$ y después de $\theta$
$\frac{t^2}{2} + C = \frac{\ln^2(u)}{2} + C = \frac{\ln^2(\sin(\theta))}{2} + C$
Por lo tanto, el resultado de la integral es
$ \int \ln(\sin(\theta)) \cot(\theta) d\theta = \frac{\ln^2(\sin(\theta))}{2} + C$