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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.5.
Calcular:
a) $\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x$
a) $\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x$
Respuesta
Vamos a resolver esta integral:
Reportar problema
$\int 7^{\cos (x)} \sqrt{2} \sin(x) d x$
Aclaración para acomodar un poco la situación, fijate que ese $\sqrt{2}$ es una constante así que la podemos sacar para la fuera.
$\sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx$
Tomemos la sustitución $u = \cos(x)$. Entonces tenemos
$u = \cos(x)$
$du = -\sin(x) dx$
Ahora reescribimos la integral en términos de $u$
$ \sqrt{2} \int 7^{\cos(x)} \sin(x) dx = \sqrt{2} \int 7^{u} (-du) = -\sqrt{2} \int 7^{u} du $
Y ahora la integral de $7^{u}$ la integramos así con lo que vimos en el Ejercicio 3.f:
$\int 7^{u} du = \frac{7^u}{\ln(7)}$
Así que aplicando esto a nuestra integral nos queda:
$-\sqrt{2} \int 7^{u} du = -\sqrt{2} \left( \frac{7^u}{\ln(7)} \right) + C$
Reemplazamos $u$ por $\cos(x)$ para volver a la variable $x$
$-\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C$
Por lo tanto, la integral resuelta es:
$\int 7^{\cos(x)} \sqrt{2} \sin(x) dx = -\sqrt{2} \left( \frac{7^{\cos(x)}}{\ln(7)} \right) + C$