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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
6.2. Encontrar una primitiva $g$ de la función $f(x)=\sqrt{x}(2 x-\sqrt[3]{x})$ que satisfaga $g(1)=\frac{124}{55}$.
Respuesta
Lo primero que nos conviene hacer acá es reescribir $f$, haciendo la distributiva, para que nos quede algo más amigable para integrar:
$f(x) = \sqrt{x} \cdot 2x - \sqrt{x} \cdot \sqrt[3]{x}$
Y ahora usamos reglas de potencias:
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$f(x) = 2x^{3/2} - x^{5/6}$
Perfecto. Ahora sí. Primero encontremos todas las primitivas de $f$ haciendo la integral:
$g(x) = \int{2x^{3/2} - x^{5/6}}\,dx = \int{2x^{3/2}}\,dx - \int{x^{5/6}}\,dx$
Integramos con las reglas que vimos en la primera clase de Integrales:
$g(x) = \int{2x^{3/2}}\,dx - \int{x^{5/6}}\,dx = \frac{4}{5}x^{5/2} - \frac{6}{11}x^{11/6} + C$
Lo que acabamos de obtener son toooodas las infinitas primitivas de $f$. Pero nosotrxs no queremos todas, queremos la que cumple específicamente que $g(1)=\frac{124}{55}$. Entonces, evaluemos $g$ en $x=1$, pidámosle que valga $\frac{124}{55}$ y despejemos $C$ :)
$\frac{124}{55} = \frac{4}{5} \cdot (1)^{5/2} - \frac{6}{11} \cdot (1)^{11/6} + C$
$\frac{124}{55} = \frac{4}{5} - \frac{6}{11} + C$
Si terminamos de despejar $C$ nos queda...
$C = 2$
Por lo tanto, la función $g$ que cumple con todo lo pedido por el enunciado es:
$g(x) = \frac{4}{5}x^{5/2} - \frac{6}{11}x^{11/6} + 2$