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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.4.
Dada la función $f(x)=e^{x}$. Se pide:
a) Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 centrado en $x=0$.
a) Hallar el polinomio de Taylor de orden 4 centrado en $x=0$.
Respuesta
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
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$ P_4(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 $
Y ahora es muy fácil, no? Porque sólo tenemos que derivar $e^x$ =P
- \( f'(x) = e^x \)
- \( f''(x) = e^x \)
- \( f'''(x) = e^x \)
- \( f^{(4)}(x) = e^x \)
Y cuando evaluamos cada término en \( x = 0 \):
- \( f(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'(0) = e^0 = 1 \)
- \( f''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f'''(0) = e^0 = 1 \)
- \( f^{(4)}(0) = e^0 = 1 \)
¡Listo! Reemplazamos en la estructura de nuestro polinomio de Taylor:
$ P_4(x) = 1 + x + \frac{1}{2!}x^2 + \frac{1}{3!}x^3 + \frac{1}{4!}x^4 $