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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.3.
Sea el polinomio de Taylor $P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1$ asociado a la función $y=f(x)$ centrado en $x=3$ de grado 6. Se pide:
c) Calcular el polinomio de Taylor de $g(x)=e^{f(x)}$ centrado en $x=3$ de grado 2.
c) Calcular el polinomio de Taylor de $g(x)=e^{f(x)}$ centrado en $x=3$ de grado 2.
Respuesta
Bueno, para calcular el polinomio de Taylor de \( g(x) = e^{f(x)} \) centrado en \( x_0 = 3 \) de orden 2, vamos a usar la información que ya tenemos de las derivadas de \( f(x) \) evaluadas en \( x_0 = 3 \).
Reportar problema
Ante todo, sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ P_2(x) = g(3) + g'(3)(x-3) + \frac{g''(3)}{2!}(x-3)^2 $
Entonces, para completar nuestra respuesta, lo que en realidad necesitamos son $g(3)$, $g'(3)$ y $g''(3)$
\( g(x) = e^{f(x)} \)
\( g(3) = e^{f(3)} = e^1 = e \)
$ g'(x) = e^{f(x)} \cdot f'(x) $ (atenti acá, regla de la cadena!)
\( g'(3) = e^{f(3)} \cdot f'(3) = 3e \)
Mucho ojo ahora para calcular la derivada segunda, aplicá regla del producto y regla de la cadena!
$ g''(x) = (e^{f(x)} \cdot f'(x)) \cdot f'(x) + e^{f(x)} \cdot f''(x) $
$ g''(3) = 9e $
¡Listo! Ahora reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:
$ P_2(x) = e + 3e(x-3) + \frac{9e}{2}(x-3)^2 $