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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.3.
Sea el polinomio de Taylor $P(x)=5(x-3)^{6}+3(x-3)+1$ asociado a la función $y=f(x)$ centrado en $x=3$ de grado 6. Se pide:
a) Calcular $f(3), f^{\prime}(3), f^{(3)}(3)$ y $f^{(4)}(3)$.
a) Calcular $f(3), f^{\prime}(3), f^{(3)}(3)$ y $f^{(4)}(3)$.
Respuesta
El polinomio de Taylor para la función \( f(x) \) centrado en \( x_0 = 3 \) de grado 6 es:
$ P(x) = 5(x-3)^{6} + 3(x-3) + 1 $
Para encontrar los valores de \( f(3) \), \( f'(3) \), \( f'''(3) \), y \( f^{(4)}(3) \), podemos comparar cada término de nuestro Taylor, con la estructura que sabemos que tendría que tener:
Reportar problema
$ P_6(x) = f(3) + f'(3)(x-3) + \frac{f''(3)}{2!}(x-3)^2 + \frac{f'''(3)}{3!}(x-3)^3 + \frac{f^{(4)}(3)}{4!}(x-3)^4 + \frac{f^{(5)}(3)}{5!}(x-3)^5 + \frac{f^{(6)}(3)}{6!}(x-3)^6 $
- \( f(3) \) es el término constante del polinomio de Taylor, el que no está acompañado de ningún $(x-3)$
$ f(3) = 1 $
- \( f'(3) \) es el coeficiente de \( (x-3) \)
$ f'(3) = 3 $
- \( f'''(3) \) sería el coeficiente de \( (x-3)^3 \), pero ese término no está presente en nuestro polinomio, lo que significa que:
$ f'''(3) = 0 $
- \( f^{(4)}(3) \) sería el coeficiente de \( (x-3)^4 \), pero tampoco este término está presente en el polinomio, por lo tanto:
$ f^{(4)}(3) = 0 $