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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.2.
Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
d) $f(x)=\sqrt{3-x}$ de orden 2 con $x_{0}=2$.
d) $f(x)=\sqrt{3-x}$ de orden 2 con $x_{0}=2$.
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $2$ centrado en $x=2$ de la función $f(x)=\sqrt{3-x}$
Reportar problema
Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(2) + f'(2)(x - 2) + \frac{f''(2)}{2!}(x - 2)^2 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que evaluar $f$ y sus derivadas en $x=2$. Hacemos eso:
$ f(x) = \sqrt{3-x} $
$ f(2) = 1 $
$ f'(x) = \frac{-1}{2\sqrt{3-x}} $
$ f'(2) = -\frac{1}{2} $
$ f''(x) = \frac{-1}{4(3-x)^{3/2}} $
$ f''(2) = -\frac{1}{4} $
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = 1 - \frac{1}{2}(x - 2) - \frac{1}{8}(x - 2)^2 $