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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 5 - Polinomio de Taylor

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5.2. Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
a) $f(x)=\ln (x)$ de orden 3 con $x_{0}=1$.

Respuesta

Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=1$ de la función $f(x)=\ln (x)$

Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: $ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 $ Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(1)$,$f'(1)$,$f''(1)$ y $f'''(1)$. Vamos con eso:

$ f(x) = \ln(x) $
$ f(1) = 0$

$ f'(x) = \frac{1}{x} $ $ f'(1) = 1 $ $ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $ $ f''(1) = -1 $ $ f'''(x) = \frac{2}{x^3} $ $ f'''(1) = 2 $

¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:

$ p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 $
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Avatar Mercedes 26 de mayo 11:39
Hola Flor! No entiendo por qué F'' es menos 1 sobre X al cuadrado si  F' es 1 sobre X
Avatar Flor Profesor 26 de mayo 14:50
@Mercedes Hola Mercedes! Para derivar $\frac{1}{x}$ podés pensarlo de dos maneras:

Opción 1: Lo reescribis, usando reglas de potencias, como $x^{-1}$ y lo derivas usando las reglas para polinomios, o sea te quedaría asi:

$(-1) \cdot x^{-1-1} = (-1) \cdot x^{-2}$ 

que esto lo podés reescribir (de nuevo, usando reglas de potencias) como

$\frac{-1}{x^2}$

Sino...

Opción 2: Aplicas la regla del cociente, tomando a 1 como "el primero" y a $x$ como "el segundo" entonces te quedaría

$\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$

Se ve mejor cómo hacemos esa derivada? Vos podés usar el camino que te resulte más fácil
Avatar Mary 4 de noviembre 09:48
Hola, Flor! En el Polinomio de Taylor donde reemplazas los valores, no sería 2/3 en lugar de 1/3?
Avatar Flor Profesor 4 de noviembre 10:22
@Mary Hola Mary! Fijate que ese término sería $\frac{f'''(1)}{3!}$

y $3!$ es $6$, entonces nos queda...

$\frac{f'''(1)}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Es por eso :) 

Si lo dejabas escrito como 3! entonces ahí si ponías $\frac{2}{3!}$
Avatar Mary 4 de noviembre 12:09
@Flor, no me queda muy claro por qué 3! es igual a 6
Avatar Rocío 29 de septiembre 18:37
Hola Flor cómo estás?? Te hago una consulta, en f’’’(x) no sería igual 2/x^4??
Avatar Flor Profesor 30 de septiembre 08:48
@Rocío Hola Rocío! Te muestro como hacés la derivada de $f''(x)$ para que lo veas. 

$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$

Una opción es usar regla del cociente, tomamos a $1$ como "el primero" y a $x^2$ como el segundo. Entonces nos queda:

$f'''(x) = -\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2}$

Reacomodamos:

$f'''(x) = -\frac{-2x}{x^4}$

Y ahí se te simplifica la $x$ de arriba con una de las del denominador y te queda

$f'''(x) = -\frac{-2}{x^3} = \frac{2}{x^3}$

Avisame si ahí lo viste mejor cómo era la derivada! :)
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