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@Mercedes Hola Mercedes! Para derivar $\frac{1}{x}$ podés pensarlo de dos maneras:
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@Mary Hola Mary! Fijate que ese término sería $\frac{f'''(1)}{3!}$
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@Rocío Hola Rocío! Te muestro como hacés la derivada de $f''(x)$ para que lo veas.
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
5.2.
Calcular el polinomio de Taylor de las siguientes funciones del orden indicado centrado en $x_{0}$.
a) $f(x)=\ln (x)$ de orden 3 con $x_{0}=1$.
a) $f(x)=\ln (x)$ de orden 3 con $x_{0}=1$.
Respuesta
Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=1$ de la función $f(x)=\ln (x)$
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Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura:
$ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 $
Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(1)$,$f'(1)$,$f''(1)$ y $f'''(1)$. Vamos con eso:
$ f(x) = \ln(x) $
$ f(1) = 0$
$ f'(x) = \frac{1}{x} $
$ f'(1) = 1 $
$ f''(x) = -\frac{1}{x^2} $
$ f''(1) = -1 $
$ f'''(x) = \frac{2}{x^3} $
$ f'''(1) = 2 $
¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor:
$ p(x) = (x - 1) - \frac{1}{2}(x - 1)^2 + \frac{1}{3}(x - 1)^3 $
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Comentarios
Mercedes
26 de mayo 11:39
Hola Flor! No entiendo por qué F'' es menos 1 sobre X al cuadrado si F' es 1 sobre X
Flor
PROFE
26 de mayo 14:50
Opción 1: Lo reescribis, usando reglas de potencias, como $x^{-1}$ y lo derivas usando las reglas para polinomios, o sea te quedaría asi:
$(-1) \cdot x^{-1-1} = (-1) \cdot x^{-2}$
que esto lo podés reescribir (de nuevo, usando reglas de potencias) como
$\frac{-1}{x^2}$
Sino...
Opción 2: Aplicas la regla del cociente, tomando a 1 como "el primero" y a $x$ como "el segundo" entonces te quedaría
$\frac{0 \cdot x - 1 \cdot 1}{x^2} = -\frac{1}{x^2}$
Se ve mejor cómo hacemos esa derivada? Vos podés usar el camino que te resulte más fácil
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Mary
4 de noviembre 9:48
Hola, Flor! En el Polinomio de Taylor donde reemplazas los valores, no sería 2/3 en lugar de 1/3?
Flor
PROFE
4 de noviembre 10:22
y $3!$ es $6$, entonces nos queda...
$\frac{f'''(1)}{3!} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
Es por eso :)
Si lo dejabas escrito como 3! entonces ahí si ponías $\frac{2}{3!}$
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Rocío
29 de septiembre 18:37
Hola Flor cómo estás?? Te hago una consulta, en f’’’(x) no sería igual 2/x^4??
Flor
PROFE
30 de septiembre 8:48
$f''(x) = -\frac{1}{x^2}$
Una opción es usar regla del cociente, tomamos a $1$ como "el primero" y a $x^2$ como el segundo. Entonces nos queda:
$f'''(x) = -\frac{0 \cdot x^2 - 1 \cdot 2x}{(x^2)^2}$
Reacomodamos:
$f'''(x) = -\frac{-2x}{x^4}$
Y ahí se te simplifica la $x$ de arriba con una de las del denominador y te queda
$f'''(x) = -\frac{-2}{x^3} = \frac{2}{x^3}$
Avisame si ahí lo viste mejor cómo era la derivada! :)
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