Nos piden encontrar el polinomio de Taylor de orden $3$ centrado en $x=1$ de la función $f(x)=\ln (x+2)$. Sabemos que el polinomio de Taylor que estamos buscando tiene esta estructura: $ p(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) + \frac{f''(1)}{2!}(x - 1)^2 + \frac{f'''(1)}{3!}(x - 1)^3 $ Para poder completar nuestra respuesta, tenemos que encontrar entonces quiénes son $f(1)$,$f'(1)$,$f''(1)$ y $f'''(1)$. Vamos con eso: $ f(x) = \ln(x + 2) $ $ f(1) = \ln (3) $ $ f'(x) = \frac{1}{x + 2} $ $ f'(1) = \frac{1}{3} $ $ f''(x) = -\frac{1}{(x + 2)^2} $ $ f''(1) = -\frac{1}{9} $ $ f'''(x) = \frac{2}{(x + 2)^3} $ $ f'''(1) = \frac{2}{27} $ ¡Listo! Reemplazamos los valores obtenidos en el esqueleto de nuestro polinomio de Taylor: $ p(x) = \ln(3) + \frac{1}{3}(x - 1) - \frac{1}{18}(x - 1)^2 + \frac{1}{81}(x - 1)^3 $

Como vimos en clase, la relación clave entre $f(x)$ y su polinomio de Taylor en $x=1$ es que se va a cumplir que:

$f(1) = p(1)$

$f'(1) = p'(1)$