$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f$

El dominio de $f$ es $\mathbb{R} - \{0\}$

$\textbf{2)}$ Asíntotas verticales

En este caso, $x=0$ es candidato a asíntota vertical. Tomamos límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha y por izquierda:

- Cuando $x$ tiende a cero por izquierda:

$ \lim_{x \to 0^-} x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = 0$

Acordate que $e^{-\infty} = 0$, por eso te queda algo que tiende a cero por algo que tiende a $-1$, todo perfecto, cuando $x$ tiende a cero por izquierda la función se acerca a $0$. Veamos ahora qué pasa por derecha... - Cuando $x$ tiende a cero por derecha: $ \lim_{x \to 0^+} x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) $ Ahora tenemos una indeterminación de tipo "cero x infinito". Al igual que como hicimos en varios items del Ejercicio anterior, podríamos reescribir para aplicar L'Hopital. Probá de hacerlo, vas a llegar igual al resultado, pero yo ya lo hice y creeme que se empieza a tornar bastante cuentoso. Se me ocurrió una manera que sale un poquito más fácil. Si hacemos el cambio de variable $y = \frac{1}{x}$, nuestro límite se convierte en... $ \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y - 1}{y^2} $ Fijate que cuando $x$ tiende a $0$ por derecha, entonces, por como está definida $y$, $y$ tiende a $+\infty$. Estamos frente a una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital: $ \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{2y} $ Aplicamos L'Hopital una vez más... $ \lim_{y \to +\infty} \frac{e^y}{2} = +\infty $ 

¡Perfectooo! Por derecha la función se está yendo a $+\infty$. Como ya uno de los límites laterales nos dio infinito, decimos que $f$ tiene una asíntota vertical en $x=0$

$\textbf{3)}$ Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

Arrancamos primero estudiando cómo se comporta la función en $+\infty$

$ \lim_{x \to +\infty} x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito", podríamos reescribir para aplicar L'Hopital, pero, un camino menos cuentoso podría ser nuevamente tomar el cambio de variable $y = \frac{1}{x}$ Fijate que ahora, cuando $x$ tiende a $+ \infty$, $y$ tiende a $0$ por derecha. Entonces el límite nos quedaría escrito así:

$ \lim_{y \to 0^+} \frac{e^y}{2y} = +\infty$

Listo, ya sabemos que $f$ se va a $+\infty$ cuando $x \rightarrow +\infty$

Ahora, para estudiar el comportamiento en $-\infty$ el razonamiento es análogo, seguís los mismos pasos que hicimos recién y vas a llegar a...

$ \lim_{x \to -\infty} x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)= -\infty $

Bueno, con esto concluimos que $f$ no tiene asíntotas horizontales... Lamentablemente vamos a tener que estudiar asíntotas oblícuas jeje... 

$\textbf{4)}$ Asíntotas oblicuas

Empezamos buscando la pendiente de la posible asíntota oblícua:

$m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{x^{2}(e^{\frac{1}{x}}-1)}{x} = \lim_{x \to \pm \infty} x (e^{\frac{1}{x}} - 1) $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito", podríamos reescribir para aplicar L'Hopital, pero, un camino menos cuentoso podría ser nuevamente tomar el cambio de variable $y = \frac{1}{x}$ Fijate que ahora, cuando $x$ tiende a $\pm \infty$, $y$ tiende a $0$. Entonces el límite nos quedaría escrito así: $\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{y} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

Por lo tanto, la posible pendiente $m$ para nuestra asíntota oblicua es $1$. 

Buscamos ahora $b$, la ordenada al origen:

$b = \lim_{x \to \pm \infty} f(x) - mx = \lim_{x \to \pm \infty} x^{2}\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) - x$ Si sacamos factor común $x^2$: $\lim_{x \to \pm \infty} x^2 [ e^{\frac{1}{x}} - 1 - \frac{1}{x} ] $ Este límite no es para nada trivial y, nuevamente, la mejor manera que se me ocurrió para resolverlo es hacer el cambio de variable $y = \frac{1}{x}$. Con este cambio de variable, el límite nos queda escrito así:

$\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1 - y}{y^2} $

Estamos frente a una indeterminación de tipo "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital:

$\lim_{y \to 0} \frac{e^y - 1}{2y} $

Sigue el "cero sobre cero", aplicamos L'Hopital una vez más...

$\lim_{y \to 0} \frac{e^y}{2} = \frac{1}{2} $

Ufff, estuvo difícil este! Finalmente concluimos que $b = \frac{1}{2}$ y por lo tanto nuestra función tiene una asíntota oblicua en $y = x + \frac{1}{2}$

*Aclaración: Este ejercicio es significativamente más difícil que cualquiera que te puedas cruzar en un parcial o final, así que tranqui si costó, es lo más normal.