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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.15.
Analizar en que ítems se puede usarse la regla de L'Hopital. Resolver cada límite con el método adecuado.
f) $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$
f) $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$
Respuesta
Queremos resolver este límite: $\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)$
Reportar problema
Para poder analizar bien la situación, necesariamente tenemos que arrancar abriendo el límite cuando $x$ tiende a $0$ por derecha y por izquierda.
1) Cuando $x$ tiende $0$ por izquierda
$\lim _{x \rightarrow 0^{-}} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = 0$
(Acordate que $e^{-\infty} = 0$, así que te queda algo que tiende a $0$ por lo del paréntesis que tiende a $-1$)
2) Cuando $x$ tiende $0$ por derecha
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) $
En este caso, recordando que $e^{+\infty} = +\infty$, estamos frente a una indeterminación de tipo "cero x infinito". Igual que te mostré en el item anterior, reescribimos para poder aplicar L'Hopital:
$\lim _{x \rightarrow 0^+} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = \lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{\frac{1}{x}}$
Así como la reescribimos, tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito", aplicamos L'Hopital:
$\lim _{x \rightarrow 0^+} \frac{-\frac{1}{x^2}e^{\frac{1}{x}}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim _{x \rightarrow 0^+} e^{\frac{1}{x}} = +\infty$
Cuando tomamos el límite por derecha nos dio $+\infty$ y por izquierda nos dio $0$, por lo tanto...
$\lim _{x \rightarrow 0} x \cdot\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right) = \text{No existe}$
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