Vamos a estudiar la función $f(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), x \epsilon[-\pi, 3 \pi]$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Máximos y mínimos absolutos}$. En este caso, $f$ está definida en un intervalo cerrado y acotado, $[-\pi, 3 \pi]$, y es continua en este intervalo. Por lo tanto, por el Teorema de Weierstrass podemos asegurar que $f$ va a alcanzar máximo y mínimo absoluto en este intervalo.  

$\textbf{1)}$ Empecemos derivando $f$

 

Bueno, a no desesperar. Este ejercicio se empieza a poner complejo porque justamente involucra todo lo que vimos al principio de la materia, en la parte de Trigonométricas (en particular, cuando vimos cómo despejar ecuaciones que involucraban trigonométricas). Si te deja más tranquilx, jamás vi que tomen algo así en un parcial o final de UBA XXI.

Usando una identidad trigonométrica podemos reescribir $2 \sin(x) \cos(x)$ como $\sin(2x)$, entonces:

$2 \sin(x) \cos(x) = 0$ $\sin(2x) = 0$

Acordate que la función seno vale $0$ cuando lo de adentro es un múltiplo de $\pi$. Entonces, los puntos críticos ocurren cuando \( 2x = k\pi \) con \( k \) un número entero, es decir, \( x = k\frac{\pi}{2} \)

Dentro de nuestro intervalo \([-π, 3π]\), los puntos corresponden a \( x = k\frac{\pi}{2} \) con \( k \) tomando los valores $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ y $6$. Fijate que cuando $k=-2$, tenemos $x=-\pi$, es decir, ya estamos en el extremo del intervalo... y para $k=6$, $x=3\pi$ y también tocamos el otro extremo. Todos los valores enteros de $k$ entre $-2$ y $6$ nos dan un $x$ que siempre caen adentro del intervalo.

$\textbf{3)}$ Evaluamos $f$ en los puntos críticos y en los extremos del intervalo

Ahora, podes agarrar uno por uno estos valores y reemplazarlos en $f(x) = \sin^2(x)$... O podemos mejor pensar un poco cómo se comporta la función seno para que esto sea más fácil. Fijate que siempre que nos quede un múltiplo entero de $\pi$ adentro del seno, la función va a valer cero. Es decir, eso ocurre en $-\pi, 0, \pi, 2\pi$ y $3\pi$. En cambio para los valores de $k$ que nos arrojan $-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$ y $\frac{5\pi}{2}$ el seno (elevado al cuadrado) va a valer $1$. Por lo tanto, todos estos son máximos absolutos, y los anteriores son mínimos absolutos.