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Análisis Matemático 66
2025
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
4.3.
En los siguientes ítems del ejercicio 1, calcular intervalos de concavidad positiva e intervalos de concavidad negativa y puntos de inflexión.
- a, b, c, d, e, f, g, h, i, k
c) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1$
c) $f(x)=3 x^{4}+4 x^{3}-12 x^{2}-1$
Respuesta
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
Reportar problema
El dominio de $f$ es $\mathbb{R}$
$\textbf{2)}$ Calculamos $f''(x)$
\( f'(x) = 12x^3 + 12x^2 - 24x \)
\( f''(x) = 36x^2 + 24x - 24 \)
$\textbf{3)}$ Buscamos los puntos de inflexión de $f(x)$ igualando la derivada segunda $(f''(x))$ a cero
\( 36x^2 + 24x - 24 = 0 \)
Si aplicás la fórmula resolvente vas a llegar a que: \( x = \frac{-1 \pm \sqrt{7}}{3} \) (si, está bien jaja, es este el resultado)
Por lo tanto, tenemos dos posibles puntos de inflexión en \( x = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \) y \( x = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \).$\textbf{4)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f''(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \)
b) \( \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \)
c) \( x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \)
$\textbf{5)}$ Evaluamos el signo de \( f''(x) \) en cada uno de los intervalos:
- Para \( x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \rightarrow \) \( f''(x) \) es positiva
- Para \( \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \rightarrow\) \( f''(x) \) es negativa
- Para \( x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \rightarrow \) \( f''(x) \) es positiva
Recapitulando,
- Los puntos de inflexión de $f$ son \( x = \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \) y \( x = \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \)
- \( f \) es cóncava hacia arriba cuando \( x < \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} \) y \( x > \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \).
- \( f \) es cóncava hacia abajo cuando \( \frac{-1 - \sqrt{7}}{3} < x < \frac{-1 + \sqrt{7}}{3} \).
Qué números tan bellos los de este ejercicio (dijo nadie nunca xD)
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