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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 4 - Estudio de funciones

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4.1. Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
d) $f(x)=x+\frac{4}{x}$

Respuesta

Vamos a hacer un análisis completo de la función $f(x)=x+\frac{4}{x}$ siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$: $\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$ En este caso tenemos una restricción, tenemos que pedir que el denominador sea distinto de cero, es decir, $x \neq 0$. 
Por lo tanto el dominio de $f$ es $\mathbb{R} -\{0\}$

$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas - Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R} -\{0\}$, entonces $x = 0$ es candidato a ser asíntota vertical. Lo confirmamos estudiando el comportamiento de la función cuando $x$ tiende a $0$ por derecha y por izquierda:

$ \lim_{x \to 0^+} x+\frac{4}{x} = +\infty $
$ \lim_{x \to 0^-} x+\frac{4}{x} = -\infty $

Por lo tanto, $f(x)$ tiene una asíntota vertical en $x=0$.
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$

$ \lim_{x \to +\infty} x+\frac{4}{x} = +\infty $ $ \lim_{x \to -\infty} x+\frac{4}{x} = -\infty $

Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
- Asíntotas oblicuas: Acordate que las asíntotas oblicuas son rectas de la forma $y = mx + b$

$m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{x+\frac{4}{x}}{x} = \frac{x}{x} + \frac{4}{x^2} = 1$
$b = \lim_{x \to \pm\infty} f(x) - mx = x+\frac{4}{x} - x = \frac{4}{x} = 0$ Por lo tanto, $f$ tiene una asíntota oblicua tanto en $+\infty$ como en $-\infty$ en $y = x$
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):

$ f'(x) = 1 - \frac{4}{x^2} $ $\textbf{4)}$Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos: 

$ 1 - \frac{4}{x^2} = 0$
$ 1 = \frac{4}{x^2} $ $ 4 = x^2$
$|x| = 2$
 
Por lo tanto, los puntos críticos son: \( x = -2 \) y \( x = 2 \)

$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -2 \) b) \( -2 < x < 0 \) c) \( 0 < x < 2 \) d) \( x > 2 \)

$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:

a) Para \( x < -2 \), podemos elegir \( x = -3 \): $ f'(-3) > 0 $ La función $f$ es creciente. b) Para \( -2 < x < 0 \), podemos elegir \( x = -1 \): $ f'(-1) < 0 $ La función $f$ es decreciente. c) Para \( 0 < x < 2 \), podemos elegir \( x = 1 \): $ f'(1) < 0 $ La función $f$ es decreciente. d) Para \( x > 2 \), podemos elegir \( x = 3 \): $ f'(3) > 0 $ La función es creciente.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.

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Avatar Mamani 15 de abril 00:49
Hola, perdón la pregunta, pero no entendí muy bien la deriva de 4/X, que sería -4/X²
Avatar Flor Profesor 15 de abril 08:56
@Mamani Hay al menos dos maneras de pensar cómo derivar $\frac{4}{x}$. Una que resulta fácil es aplicar regla del cociente, fijate que si tomás al $4$ como "el primero" y a $x$ como "el segundo", entonces te queda: $\frac{0 \cdot x - 4}{x^2} = -\frac{4}{x^2}$ y ahí quedó =)

La otra forma es reescribir $\frac{4}{x}$ como $4\cdot x^{-1}$ y ahí derivás $x^{-1}$ con las reglas para polinomios. Con esa opción también deberías llegar al mismo resultado (para mi hay menos chance de meter la pata usando la primera opción, pero depende de cada uno que le resulte más fácil)
Avatar Mamani 15 de abril 16:15
Ahh, claro, ahora entiendo, muchas gracias! (Pensaba que era algo muy complicado jajs)
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