Volver a Guía
Ir al curso
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2025
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
Práctica 4 - Estudio de funciones
4.1.
Realizar el análisis completo de las siguientes funciones $f$ definidas por $y=f(x)$ teniendo en cuenta:
a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
- Dominio e Imagen;
- Asíntotas: verticales, horizontales y oblicuas;
- Extremos locales y puntos silla;
- Intervalos de crecimiento y decrecimiento;
- Graficar.
a) $f(x)=\frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1$
Respuesta
Vamos a hacer un análisis completo de la función \( f(x) = \frac{1}{3}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - 6x + 1 \) siguiendo la estructura que vimos en las clases de $\textbf{Estudio de funciones}$:
$\textbf{1)}$ Identificamos el dominio de $f(x)$
En este caso no hay ninguna restricción, el dominio de $f$ es todo $\mathbb{R} $
Reportar problema
$\textbf{2)}$ Estudiamos la existencia de asíntotas verticales, horizontales y oblicuas
- Asíntotas verticales: Como el dominio es $\mathbb{R}$, esta función no tiene asíntotas verticales
- Asíntotas horizontales: Tomamos los límites cuando $x$ tiende a $\pm \infty$
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1 = +\infty $
$ \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{3} x^{3}+\frac{1}{2} x^{2}-6 x+1 = -\infty $
Es decir, $f$ no tiene asíntotas horizontales. Igualmente conocer el comportamiento en $+\infty$ y en $-\infty$ nos va a ayudar para hacer el gráfico de la función.
- Asíntotas oblicuas: Las asíntotas oblicuas ocurren típicamente en funciones donde tenemos un cociente de polinomios, donde el grado del polinomio de arriba supera en un grado el del polinomio de abajo. Hacé la prueba y convencete que, en este caso, no tenemos asíntota oblicua (ya el límite de $m$ te va a dar infinito)
$\textbf{3)}$ Calculamos \( f'(x) \):
$ f'(x) = x^2 + x - 6 $
$\textbf{4)}$ Igualamos \( f'(x) \) a cero para obtener los "puntos críticos", nuestros candidatos a máximos y mínimos:
$ x^2 + x - 6 = 0 $
Tenemos una cuadrática igualada a cero, si aplicás la fórmula resolvente vas a llegar a que los resultados son \( x = -3 \) y \( x = 2 \). Estos son nuestros "puntos críticos"
$\textbf{5)}$ Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
a) \( x < -3 \)
b) \( -3 < x < 2 \)
c) \( x > 2 \)
$\textbf{6)}$ Evaluamos el signo de \( f'(x) \) en cada uno de los intervalos:
a) Para \( x < -3 \), elijo \( x = -4 \):
$ f'(-4) = 6 > 0 $
Por lo tanto, \( f \) es creciente en este intervalo.
b) Para \( -3 < x < 2 \), elijo \( x = 0 \):
$ f'(0) = -6 < 0 $
Por lo tanto, \( f \) es decreciente en este intervalo.
c) Para \( x > 2 \), elijo \( x = 3 \):
$ f'(3) = 6 > 0 $
Por lo tanto, \( f \) es creciente en este intervalo.
Con toda la información que tenemos ya podemos graficar $f(x)$. Te dejo acá abajo el gráfico hecho en GeoGebra.
🤖
¿Tenés dudas? Pregúntale a ExaBoti
Asistente de IA para resolver tus preguntas al instante🤖
¡Hola! Soy ExaBoti
Para chatear conmigo sobre este ejercicio necesitas iniciar sesión
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar esta respuesta? Esta acción no se puede deshacer.
Confirmar eliminación
¿Estás segurx de que quieres eliminar este comentario? Esta acción no se puede deshacer.