Resolución ejercicio 3.8 subitem a de Práctica 3 - Derivadas de Análisis Matemático 66 UBA XXI Cátedra Cabana

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI

CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.8. Estudiar continuidad y derivabilidad en $x_{0}$ de las siguientes funciones. Hacer un gráfico aproximado y verificar los resultados obtenidos.

a) $f(x)=|x| ; x_{0}=0$

Respuesta

Aclaración por las dudas: Antes de encarar estos ejercicios, es muy muy importante que hayas visto antes la clase de Derivabilidad en funciones partidas! Vamos a usar todo lo que vimos en esa clase y resolver ejercicios de la misma onda.

Para estudiar la continuidad y derivabilidad de la función $ f(x) = |x| $ en $ x_0 = 0 $, comencemos escribiéndola como una función partida: $ f(x) = \begin{cases} -x & \text{si } x < 0 \\ x & \text{si } x \geq 0 \end{cases} $ Arrancamos estudiando $\textbf{continuidad}$ en $ x_0 = 0 $:

Lo primero que quiero que te des cuenta es que, si esta función puede llegar a tener problemas de continuidad en algún punto, justamente va a ser en $x=0$, que es donde la función se parte. Verificamos las tres condiciones necesarias para que $ f(x) $ sea continua en $ x = 0 $: a) $ f(0) = 0 $ b) Calculamos el límite de $ f(x) $ cuando $ x $ tiende a cero. Por como está definida la función, tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda: $ \lim_{{x \to 0^-}} (-x) = -0 = 0 $ $ \lim_{{x \to 0^+}} (x) = 0 $ Como los límites por derecha y por izquierda coinciden, entonces el límite existe y vale $0$. c) El límite cuando $x$ tiende a cero existe y vale lo mismo que $f(0)$, por lo tanto, $f$ es continua en $x=0$

Estudiamos ahora $\textbf{derivabilidad}$ en $ x_0 = 0 $: En este caso, tenemos que usar si o si el cociente incremental y derivar por definición para obtener $f'(0)$, ya que queremos calcular la derivada justo en el $x$ donde la función se parte. $ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} $

En este caso, fijate que según si $h$ tienda a cero por derecha o por izquierda, lo de adentro de $f$ va a tender a algo menor a cero o mayor a cero, y por lo tanto la expresión a usar es distinta. Necesariamente tenemos que abrir el límite por derecha y por izquierda:

Para el límite por izquierda cuando $ h \to 0^- $: $ f'(0) = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^-}} \frac{-h - 0}{h} = -1 $ Para el límite por derecha cuando $ h \to 0^+ $: $ f'(0) = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \lim_{{h \to 0^+}} \frac{h - 0}{h} = 1 $ Los límites por derecha y por izquierda no coinciden, por lo tanto, $ f'(0) = \lim_{{h \to 0}} \frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \text{No existe} $

Esto significa que la función no es derivable en $ x = 0 $.

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