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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 3 - Derivadas

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3.1. Dada $f(x)=x^{2}+3 x-1$
b) Dejando fijo el punto $A$, hacer que $B$ se acerque por el lado derecho de $A$ disminuyendo el valor de $x$ en 0,1 cada vez y calcular las distintas pendientes de las rectas secantes. Llegar hasta $B_{n}=(1,1 ; f(1,1))$. Observar los valores que va tomando la pendiente.

Respuesta

Bueno, bien conceptualmente. Si ustedes empiezan a calcular las pendientes de las rectas secantes para $(1.9,f(1.9))$, $(1.8,f(1.8))$... y así hasta $(1.1, f(1.1))$, deberían ver que el valor de la pendiente cada vez se acerca más a $5$, que es el valor de la pendiente de la recta tangente en $x=1$
$ f'(x) = 2x + 3 $ $ f'(1) = 2(1) + 3 = 5 \rightarrow$ Pendiente de la recta tangente en $x=1$
La pendiente de la recta tangente es el límite de las pendientes de las rectas secantes conforme el punto \( B \) se acerca infinitamente al punto \( A \).
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Avatar VICTORIA 1 de abril 08:37
Hola Flor no entiendo, vi todos los videos pero no entiendo como resolverlo. O sea si le voy restando 0,1 a 2 me dan valores hasta 1,1. Y con cada valor que me da tengo que remplazar X2 en la ecuacion de la pendiente? 

Avatar Flor Profesor 1 de abril 09:03
@VICTORIA Hola Vicky! El concepto clave es que la derivada es la pendiente de la recta tangente... La idea de este ejercicio es ver que, a medida que nos acercamos a $x=1$ la pendiente de las rectas secantes (que son las rectas que pasan por A y por B, donde A lo dejamos fijo y a B lo empezamos a acercar cada vez más a A) se parece cada vez más a $5$, que es justamente la pendiente de la recta tangente en $x=1$

Imaginate que cuando A y B están infinitamente cerca, la recta que pasa por A y B es justamente la recta tangente a $f$ en ese punto, entonces tiene sentido que su pendiente sea 5 (que es la derivada de $f$ en $x=1$)

A efectos prácticos jaja vos tenés el punto A $(1,f(1))$ y el punto B que, por ejemplo, al principio lo hacemos valer $(1.9,f(1.9))$ -> Te construis la recta que pasa por esos dos puntos (al estilo primeros ejercicios de la práctica 1) y te fijas cuál es su pendiente... y así deberias ir haciendolo cuando B ahora es $(1.8,f(1.8))$ y así, y ver que cada vez la pendiente se empieza a acercar cada vez más a $5$

Queda un poco más claro? 
Avatar VICTORIA 1 de abril 09:23
@Flor Si justo lo estaba pensando asi creo2025-04-01%2009:23:00_7281094.png
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