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@Agus Hola Agus por acá! Veo que estás a full con la práctica de límites y muy buena esta preguntaaa! De hecho voy a agregar la aclaración en la resolución :)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.9.
Calcular, si es posible, los límites de las siguientes funciones cuando $x \rightarrow+\infty$ y cuando $x \rightarrow-\infty$.
g) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
g) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
Respuesta
\( f(x) = \ln(x^2 + 1) \)
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Aclaración importante: Antes de calcular estos límites, preguntémonos por unos segundos cuál es el dominio de esta función.
Si pedimos que "lo de adentro del logaritmo" sea mayor que cero, tenemos que...
$x^2 + 1 > 0$
Y mirá con cuidado esta expresión... tenemos un número elevado al cuadrado (o sea que va a ser siempre mayor o igual a cero, no importa el $x$ que pongamos ahí) y a eso le estamos sumando $1$... ¡eso siempre va a ser $>0$, para cualquier $x$! ¿Lo ves?
Por lo tanto, lo de adentro de este logaritmo siempre es mayor que cero, y el dominio de esta función es $\mathbb{R}$. Asi que en este caso podemos tomar límite tanto en $+$ como en $-\infty$ :)
Ahora sí, a lo nuestro!
1) Límite cuando \( x \rightarrow +\infty \):
Lo de adentro del logaritmo se está yendo a $+\infty$, por lo tanto:
\( \lim _{x \rightarrow +\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty \)
2) Límite cuando \( x \rightarrow -\infty \):
Lo de adentro del logaritmo se está yendo a $+\infty$ (porque el menos infinito está elevado al cuadrado!) Por lo tanto:
\( \lim _{x \rightarrow -\infty} \ln(x^2 + 1) = +\infty \)
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Agus
6 de abril 11:03
Flor porqué en todos los ejercicios de lim con logaritmo cuando la x tendía a -inf no lo evaluábamos por las restricciones del dominio y ahora si?
Flor
PROFE
6 de abril 18:35
Fijate que en este caso yo me podría preguntar, cuál es el dominio de esta función? Miremos bien...
$\ln(x^2 + 1)$
Nosotros necesitamos que lo de adentro del logaritmo sea $>0$
$x^2 + 1 > 0$
Pero eso se cumple siempre, porque fijate que a $x^2$ (que vale cero o es un número positivo) le estamos sumando $1$... eso siempre siempre va a ser mayor a cero, lo ves? En este caso el dominio de la función es todos los reales, así que tenemos función tanto en $+$ como en $-\infty$
De hecho, fijate que si evaluamos lo de adentro del logaritmo en $-\infty$, como está elevado al cuadrado nos queda $+\infty + 1$, o sea, $+\infty$... así que perfecto, todo legal :)
Se ve mejor?
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