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@Mateo Hola Mateo! Ahi lo estoy viendo -> Cuando vos sacás factor común $x^2$ adentro de la raíz, hasta ahi está perfecto, ahora, vamos despacio acá, porque me parece que al no escribir explicitamente estos pasos intermedios se armó lio jaja -> Vos ahí distribuis la raíz y te queda entonces $|x|$ multiplicando a esa raíz que tiende a $1$ y aparte también tenes en el denominador a $-x$. Ese $|x|$ nos dimos cuenta que, cuando $x \to -\infty$ es $-x$, así que ahi te queda $-x$ multiplicando a la raíz que tiende a $1$ y $-x$ de nuevo -> Cuando sacas factor común, por ejemplo, sacás factor común $-x$, entonces adentro del paréntesis tenés la raíz + 1 -> Acordate que al hacer la distributiva vos tenés que poder recuperar lo que tenías en el paso anterior (y así lo recuperás), otra opción sería sacar factor común $x$ y entonces adentro del paréntesis te quedan ambos negativos ( $-$ la raíz que tiende a 1 y $-1$), como lo hice yo en el resuelto
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@Mora Hola Mora! Muy buena pregunta! En estas indeterminaciones infinito sobre infinito, si bien es legal aplicar L'Hopital jaja, no nos ayuda para resolver el límite. Mirá:
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@Flor Gracias Flor! había olvidado que la derivada de n elevado a la x era sí. Estuve revisando las otras correcciones y me di cuenta que eran errores tontos, seguramente por haberme quemado haciendo ejercicios
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
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2.8.
Calcular los límites indicados, para $x$ tendiendo a infinito.
i) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}+x$
i) $\lim _{x \rightarrow-\infty} \sqrt{x^{2}-2 x+3}+x$
Respuesta
Ahora tenemos que resolver este límite:
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x\right) $
Nuevamente tenemos una indeterminación de tipo "infinito menos infinito". Para salvar esta indeterminación, vamos a usar la misma estrategia que con el item anterior, multiplicando y dividiendo por el conjugado.
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x\right) \cdot \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)}{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)} $
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x)(\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x)}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x} $
El numerador tenemos algo multiplicado por su conjugado, perfecto, lo podemos reescribir como una diferencia de cuadrados y ahí vuela la raiz...
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{(x^2 - 2x + 3) - x^2}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x} = \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2 - 2x + 3} - x} $
Ahora sacamos factor común "el que manda" arriba y abajo, fijate que en ambos casos es $x$.
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{x(-2 + \frac{3}{x})}{x\left(-\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - 1\right)} $
Cancelamos las $x$, tuki. Nos queda:
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{-2 + \frac{3}{x}}{-\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - 1} $
Listooo, tomamos límite, fijate que hay varios términos que se están yendo a cero. El numerador tiende a $-2$, el denominador tiende a $-2$, por lo tanto, el resultado del límite esss...
Reportar problema
Ojo, atentí aca... A diferencia del problema anterior, fijate que todavía no podemos terminar el ejercicio, porque ahora tenemos una indeterminación de tipo "infinito sobre infinito". Bueno, no hay problema, hacemos lo que sabemos hacer en esos casos: Sacar factor común el que manda, claro que sí. Y como vimos en la clase, siempre, siempre, en estos casos arrancá primero trabajando con la expresión adentro de la raíz! Sacamos factor común $x^2$ adentro de la raíz:
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{-2x + 3}{\sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} - x} $
Distribuimos la raíz cuadrada, ojo que ahí nos queda \(|x|\) cuando cancelamos potencia y raíz!
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{-2x + 3}{|x|\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - x} $
Y recontra más ojo acá: Como \( x \) tiende a \( -\infty \) (o sea, es un $x$ negativo!) \( |x| = -x \)
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \frac{-2x + 3}{{-x}\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} - x} $
$ \lim _{x \rightarrow -\infty} \left(\sqrt{x^2 - 2x + 3} + x\right) = 1 $
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Mateo
12 de abril 21:52
Hola, no pude llegar al resultado, sino a -2/0, cosa que no puede ser. Entendí como sacaste el modulo de x afuera de la raíz con su signo, en adelante el despeje que hiciste, no tanto. Hice esto:
Flor
PROFE
13 de abril 13:08
Te hago una aclaración, que si estuvieras en CBC y alguien vería el desarrollo sería importante, en tu caso que la estás haciendo por UBA XXI no lo es tanto, pero fijate que nosotros tomamos límite al final -> Yo había cosas que ya me había dado cuenta que tendían a cero, pero las seguí arrastrando hasta el final cuando tomamos límite, no las escribas ya como cero desde antes.
Avisame porfa si queda más claro :)
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moca
24 de febrero 16:09
Hola Flor! primero quería agradecerte por contestar mis consultas anteriores. Ya terminé la primera parte del curso y volví a esta guía para resolver los ejercicios aplicando L'Hopital, pero estoy teniendo problemas con este punto y el siguiente:
Flor
PROFE
27 de febrero 9:53
En el primer caso, cuando vos aplicas L'Hopital te queda esto (ahi te pongo abajo la captura de lo que escribí en la tablet, atenti a la derivada del denominador) Fijate que una vez que apliqué L'Hopital, en el denominador me vuelve a quedar un cociente y también es una indeterminacion inf sobre inf... así que habría que volver a apliar L'Hopital... y ya te das cuenta que vamos a seguir así en loop sin poder resolverlo?
Por otro lado, con respecto al otro ejercicio, atenti al derivar un número elevado a la $x$... nosotros sabemos derivar $e$ elevado a la $x$ (que queda igual), pero cuando el exponente depende de $x$ y la base es otro número, nos queda así la derivada (eso acá en las guías aparece en el ejercicio 10 r) de la guía de derivadas y en algún otro aislado más, nunca lo ví en un parcial) - Derivando asi cuando aplicas L'Hopital vas a ver que ahora sí el límite te da lo mismo :)
Moraleja, siempre que vos tengas una indeterminación infinito sobre infinito podés aplicar L'Hopital y es legal jaja pero hay algunos casos como el de este primer ejercicio donde no nos termina ayudando... en particular por cómo está armada esta guía, a las que seguro te recomiendo volver para ver cómo salían usando L'Hopital son las cero sobre cero, que creo que yo en general siempre hacía la aclaración en el arranque avisando que salían más fácil con L'H :)
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moca
28 de febrero 21:50
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