Por lo tanto, el dominio de la función es todo \( \mathbb{R} \) excepto $x=-3$ y $x=3$ Ahora analicemos el límite indicado: \( \lim_{y \rightarrow 3} \frac{y^2 - y - 6}{\sqrt{y^2 + 7} - 4} \)

Si sustituimos $x$ por $0$ vemos que estamos frente a una indeterminación "0/0". Te lo repito y te lo voy a seguir repitiendo toda esta práctica, esta indeterminación se salva en ¿10 segundos? aplicando la Regla de L'Hopital y seguro así lo hagas en el parcial si te cruzas con un límite de este estilo. Como estamos en esta práctica y me metí solita en esto de resolver toda la guía, voy a dejar la resolución acá sólo para que quede por si a alguien le interesa ver cómo podemos salvarlo sin usar L'Hopital: Multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador: $\frac{(y^2 - y - 6)}{\sqrt{y^2 + 7} - 4} \cdot \frac{\sqrt{y^2 + 7} + 4}{\sqrt{y^2 + 7} + 4}$

$\lim_{y \rightarrow 3} \frac{(y^2 - y - 6)(\sqrt{y^2 + 7} + 4)}{(y^2 + 7) - 16}$ $\lim_{y \rightarrow 3} \frac{(y^2 - y - 6)(\sqrt{y^2 + 7} + 4)}{y^2 - 9}$

Ahora vemos si podemos factorizar expresiones para que se me cancelen cosas. El \( y^2 - 9 \) del denominador se puede factorizar como \( (y - 3)(y + 3) \). El numerador lo podemos factorizar como $(y - 3)(y + 2)$

$\lim_{y \rightarrow 3} \frac{(y-3)(y+2)(\sqrt{y^2 + 7} + 4)}{(y-3)(y+3)}$

Ahora podemos cancelar los \( (y - 3) \) del numerador y el denominador: \( \lim_{y \rightarrow 3} \frac{(y + 2)(\sqrt{y^2 + 7} + 4)}{y + 3} \) Listo, ahora sustituimos \( y = 3 \) directamente y vemos que se nos fue la indeterminación. $\lim_{y \rightarrow 3} \frac{(y + 2)(\sqrt{y^2 + 7} + 4)}{y + 3} = \frac{20}{3}$

Aclaración: Si llegaste hasta acá y estás enloqueciendo porque nunca se te hubiera ocurrido factorizar para salvar la indeterminación... te repito... este límite con L'Hopital salía en menos de lo que me tomó escribir esta última oración y así lo vas a resolver en el parcial. Falta poco!