Volver a Guía
Ir al curso
@Joan Hola Joan! Justo recién te respondí la duda que me dejaste en el video y te estaba mandando hacia estos ejercicios 😅
0
Responder
CURSO RELACIONADO
Análisis Matemático 66
2025
CABANA
¿Te está ayudando la guía resuelta?
Sumate a nuestro curso, donde te enseño toda la materia de forma súper simple. 🥰
Ir al curso
ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
2.4.
Calcular los límites laterales indicados, analizando previamente el dominio de la función.
c) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$ y $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$
c) $\lim _{x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$ y $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{x}{x+1}\right)\left(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}\right)$
Respuesta
Primero analicemos el dominio de la función $(\frac{x}{x+1})(\frac{2 x+5}{x^{2}+x})$. Fijate que tenemos dos divisiones, tenemos que pedir que...
Reportar problema
$x+1 \neq 0$, es decir, $x \neq -1$
$x^{2}+x \neq 0$, es decir, $x \neq 0$ y $x \neq -1$
Por lo tanto, el dominio de nuestra función es $\mathbb{R} - \{-1,0\}$
Ahora calculemos los límites laterales indicados, pero primero un consejo: Yo acá lo primero que haría, antes de arrancar a calcular cualquier límite es expresar esta función como un único cociente; es decir, hacemos la distributiva arriba y abajo y nos queda:
$(\frac{x}{x+1})(\frac{2 x+5}{x^{2}+x}) = \frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}$
1. $\lim _{ x \rightarrow-1^{-}}\left(\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}\right)$
Si reemplazamos $x$ por $-1$ en esta expresión, fijate que el numerador tiende a $-3$ y el denominador tiende a $0$. Perfecto, número sobre algo que tiende a cero, eso nos da infinito. Nos fijamos el signo del denominador: Como $x$ tiende a $-1$ por izquierda, entonces en lugar de la $x$ tendríamos algo así como $-1.000...1$. Te das cuenta entonces que la resta del denominador nos da $0$, pero un $0$ por izquierda, es decir que es negativo? Listo, entonces algo negativo sobre algo negativo, nos da positivo, y por lo tanto el resultado del límite es $+\infty$.
2. $\lim _{ x \rightarrow0^{+}}\left(\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x}\right)$
Fijate que ahora el numerador tiende a cero y el denominador también. Tenemos una indeterminación de tipo "0/0". Como te comenté en la primera clase, estas indeterminaciones por lo general las vamos a salvar usando la Regla de L'Hopital (que todavía no la sabemos). Cuando uno todavía no puede usar L'Hopital hay varias estrategias para salvar estas indeterminaciones, yo como te prometí en la clase voy a tratar de no meterme mucho en eso, pero en este caso es muy fácil así que te la cuento. Una de las maneras es tratando de factorizar las expresiones arriba y abajo y que se me cancele algo. En este caso fijate que podemos sacar factor común arriba y abajo la $x$. Nos quedaría:
$\frac{2x^2 + 5x}{x^3 + 2x^2 + x} = \frac{x (2x+5)}{x (x^2+2x+1)} = \frac{2x+5}{x^2+2x+1}$
$\lim _{ x \rightarrow0^{+}}\left(\frac{2x+5}{x^2+2x+1}\right)$
Fijate que ahora, si reemplazamos $x$ por $0$, el numerador tiende a $5$ y el denominador tiende a $1$. Por lo tanto, el resultado de este límite es $5$.
Iniciá sesión o
Registrate para
dejar
tu
comentario.
Joan
15 de abril 23:03
no entiendo porque la distributiva del primer límite dió 2x 2, no entiendo eso. O sea, cómo distribuis x+1 con x2 + x para que resulte x3+2x elevado a 2 + x
Flor
PROFE
16 de abril 8:43
Acá te hice despacito en la tablet la distributiva $(x+1)(x^2 + x)$
Fijate que multiplico $x$ con $x^2$, después $x$ con $x$ (esos son las que están en rojo), después $1$ con $x^2$ y después $1$ con $x$
Por propiedades de potencias, $x \cdot x^2 = x^3$ (se suman los exponentes), lo mismo cuando multiplicamos $x$ con $x$ (te queda $x^2$, se sumaron los exponentes) - Y cuando tenés $x^2 + x^2$ nos quedan entonces dos $x^2$
Avisame si ahi quedaron más claros los pasos! :)
0
Responder
🤖 ExaBoti
Esta conversación es privada
🤖 ExaBoti (privado)