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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
1.15.
Determinar el conjunto dominio, más amplio posible en reales, para que las siguientes fórmulas sean funciones.
e) $f(z) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}$
e) $f(z) = \frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+2}}$
Respuesta
Vamos a determinar el dominio de la función \(f(z) = \frac{\sqrt{z-2}}{\sqrt{z+2}}\) utilizando las tres preguntas para determinar el dominio:
1. ¿Hay divisiones? Sí, hay una división en la función!
2. ¿Hay raíces pares? Sí, hay una raíz cuadrada en el numerador y en el denominador!
3. ¿Hay logaritmos? No hay!
Ahora, para encontrar el dominio, debemos considerar todas las restricciones.
Primero, para el numerador:
\[z - 2 \geq 0\]
\[z \geq 2\]
Y ahora, para el denominador:
\[z + 2 > 0\]
\[z > -2\]
(Fijate que le pedimos que sea mayor estricto a cero, porque el denominador no puede ser cero, estamos aplicando también esa restricción)
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(Fijate que le pedimos que sea mayor estricto a cero, porque el denominador no puede ser cero, estamos aplicando también esa restricción)
Perfecto, fijate entonces que en el numerador va a estar todo bien siempre y cuando $z \geq 2$, mientras que el denominador sólo necesita que $z > -2$. Pero ojo que estas condiciones se tienen que cumplir en simultáneo! Entonces, el dominio resulta $[2, +\infty)$. Si $z$ pertenece a ese conjunto, lo de adentro de todas las raíces va a ser mayor o igual a cero, y el denominador no va a ser cero, así que perfecto =)