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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

1.10. Hallar los valores de $x$ que verifican:
b) $|x-1|=1-x$

Respuesta

Paaaara mi, este ejercicio es mucho más fácil de razonarlo y entenderlo una vez que ya viste función módulo. Saber cómo abrir el módulo es importante, pero tranqui que tenemos muuucho por adelante para irlo incorporando bien. 

Acordate de la clase de "Función módulo" que el módulo $|a|$ de un número $a$ es igual a $a$ si $a$ es mayor o igual que cero y es igual a $-a$ si $a$ es menor que cero. Entonces, podemos dividir la solución en dos casos, dependiendo del signo de la expresión $x-1$. $\textbf{Caso 1:}$ $x-1 \geq 0$ (esto es, $x \geq 1$) Si $x-1$ es mayor o igual a cero, la ecuación se convierte en $x-1=1-x$. Al resolver esta ecuación, obtenemos: $x-1=1-x$ $2x=2$ $x=1$

Es decir, si $x-1 \geq 0$, o lo que es lo mismo,  $x \geq 1$, esta ecuación se cumple sólo para $x=1$. 

Veamos ahora el otro caso...

$\textbf{Caso 2:}$ $x - 1 < 0$, lo que significa que $x < 1$. Para los valores de $x$ menores que $1$, la expresión dentro del valor absoluto es negativa, y por lo tanto, cambiamos el signo y la ecuación se convierte en: $-(x - 1) = 1 - x$ Esto simplifica a: $-x + 1 = 1 - x$ Y podemos ver que esta ecuación es siempre verdadera sin importar el valor de $x$. Fijate que si pasas una de las $x$ sumando para el otro lado, te queda simplemente $1=1$ que es siempre verdadera. Eso significa que no importa el $x$ que yo ponga ahí, siempre y cuando $x < 1$ porque estamos en ese caso, la ecuación se va a cumplir. Por lo tanto, cualquier número $x < 1$ satisface la ecuación en este caso.
Para resumir todo, los valores de $x$ que satisfacen la ecuación $|x - 1| = 1 - x$ son todos los valores menores que $1$ y el valor $x=1$ que encontramos en el primer caso. Por lo tanto, la solución completa es: $x \leq 1$ En notación de intervalo, esto se expresa como $(-\infty, 1]$.
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Comentarios
Noah
12 de marzo 8:17
Flor, no quedaría -x+x=1-1, o sea 0=0en vez de 1=!?
Flor
PROFE
12 de marzo 13:45
@Noah Hola Noah! Sisi, es lo mismo, fijate que vos también podés hacer

$-x + 1 = 1 - x$

Yo ahí pasé el $-x$ para la izquierda

$-x + x + 1 = 1$

$1 = 1$

Pero si acá decidis pasar uno de los $1$ restando para el otro lado, también llegás a 

$0 = 0$

como hiciste vos, ambos caminos están bien :)

La clave está en que llegas a lo que llamamos una identidad, algo que se cumple siempre :)
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