Supongamos que \(\sqrt{5}\) es un número racional, es decir, puede expresarse como el cociente de dos enteros \(a\) y \(b\) donde \(b \neq 0\), y \(a\) y \(b\) no tienen factores comunes. Entonces, tenemos: \[ \sqrt{5} = \frac{a}{b} \] Elevemos ambos lados al cuadrado para eliminar la raíz cuadrada: \[ 5 = \frac{a^2}{b^2} \] Pasamos el \(b^2\) multiplicando para el otro lado: \[ 5b^2 = a^2 \] Esto implica que \(a^2\) es un múltiplo de 5. Ahora, observamos que si \(a^2\) es un múltiplo de 5, entonces \(a\) también debe ser un múltiplo de 5. Supongamos que \(a = 5k\), donde \(k\) es un entero. Sustituimos \(a\) en la ecuación original: \[ 5b^2 = (5k)^2 \] \[ 5b^2 = 25k^2 \] Pasamos el $5$ dividiendo... \[ b^2 = 5k^2 \] Esto implica que \(b^2\) también es un múltiplo de 5, y por lo tanto, \(b\) también debe ser un múltiplo de 5. Ups! Qué pasó acá? Llegamos a un absurdo! Tanto \(a\) como \(b\) son múltiplos de 5, lo cual contradice nuestra suposición inicial de que \(a\) y \(b\) no tienen factores comunes. Por lo tanto, nuestra suposición de que \(\sqrt{5}\) es un número racional es incorrecta. Concluimos que \(\sqrt{5}\) es un número irracional. Esta es una prueba clásica de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 5 =)