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Análisis Matemático 66
2024
CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
1.3.
En los casos en que sea posible, escribir los siguientes conjuntos como intervalos o unión de intervalos. Representar todos los conjuntos en la recta numérica.
i) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{x+1}{3 x+2} \gt 1\right\}$
i) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{x+1}{3 x+2} \gt 1\right\}$
Respuesta
Arrancamos resolviendo la inecuación
$\frac{x+1}{3x+2} > 1,$
Primero pasemos el \(1\) restando al otro lado:
$\frac{x+1}{3x+2} - 1 > 0.$
Ahora vamos a hacer explícitamente la resta de la izquierda y armarnos una única fracción de ese lado, como vimos en la clase de Operaciones con fracciones. Deberías llegar a...
$\frac{-2x - 1}{3x+2} > 0.$
Ahora fijate, tenemos una fracción mayor que necesitamos que sea mayor a cero. Una fracción es positiva si su numerador y denominador tienen el mismo signo (ambos positivos o ambos negativos), no? Entonces analicemos ambos casos y veamos que soluciones obtenemos de cada uno =)
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$\textbf{Caso 1:}$ Numerador y denominador positivos
Para que el numerador sea positivo, necesitamos que $-2x - 1 > 0$, despejando obtenemos que $x < -\frac{1}{2}.$
Para que el denominador también sea positivo, necesitamos que $3x + 2 > 0$, despejando: $x > -\frac{2}{3}.$
Perfecto, ambas condiciones se cumplen si $x \in (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}).$
$\textbf{Caso 2:}$ Numerador y denominador negativos
Para que el numerador sea negativo, necesitamos que $-2x - 1 < 0$, o sea, $x > -\frac{1}{2}.$
Para que el denominador también sea negativo, necesitamos que $3x + 2 < 0$, o sea, $x < -\frac{2}{3}.$
Fijate que no hay ningún $x$ que cumpla con ambas condiciones al mismo tiempo, por lo tanto del Caso 2 no obtenemos ninguna solución.
Entonces, el conjunto solución de la inecuación original es:
$x \in (-\frac{2}{3}, -\frac{1}{2}).$