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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 1 - Números reales y funciones

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1.3. En los casos en que sea posible, escribir los siguientes conjuntos como intervalos o unión de intervalos. Representar todos los conjuntos en la recta numérica.
c) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{6}{x-1} \geq 5\right\}$

Respuesta

Atenti con este problema. Lo primero que vamos a hacer es pasar el $5$ restando para el otro lado...
$\frac{6}{x-1} -5 \geq 0$

...y ahora el término de la izquierda lo vamos a escribir como una única fracción, deberías llegar a este resultado:
$\frac{-5x + 11}{x-1} \geq 0$

(Si sumar dos expresiones fraccionarias te confunde, te sugiero que no dejes de mirar la clase de Operaciones con fracciones en la unidad de Ejercicios Preliminares, al principio del curso... esto es algo que vamos a hacer todo el tiempo, mejor tenerlo claro desde ahora!)

¿Y para qué querriamos expresarlo como una fracción? Porque lo que tenemos ahora vale oro! Mirá, estamos buscando los $x$ que verifican que esa fracción es mayor o igual a cero... Y eso ocurre en dos escenarios posibles, si tanto numerador como denominador son positivos, o si ambos son negativos, ¿me seguís? Separamos entonces en casos: Caso 1: 

$-5x + 11 \geq 0$    y    $x - 1 \gt 0$
 
$-5x \geq -11$    

$x \leq \frac{11}{5}$

$x \leq  \frac{11}{5}$    y   $x \gt 1$ Por lo tanto, el caso 1 es cuando $x \in (1, \frac{11}{5}]$
Caso 2: 

$-5x + 11 \leq 0$ y $x - 1 \lt 0$ $-5x \leq -11$ $x \geq \frac{11}{5}$ $x \geq \frac{11}{5}$ y $x \lt 1$ Este caso no cumple con las condiciones, por lo tanto, no tiene solución.
Finalmente, la solución es $x \in (1, \frac{11}{5}]$

Tip: Para incluir el caso "igual a cero" propuse que los numeradores en ambos casos podían ser cero también. 
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Avatar moca 3 de febrero 16:42
Hola profe! no entiendo por qué en el caso 1 el -5 pasa para el otro lado como positivo cuando pasa como división. Pensé que el signo no cambiaba en casos de multiplicación y división 
Avatar Flor Profesor 5 de febrero 17:13
@Mora Hola Mora! Nono, ojo, el -5 si pasó para el lado derecho como -5, lo que pasó es que teníamos ahí un -11, entonces por eso nos quedó $\frac{-11}{-5} = \frac{11}{5}$ (yo escribí directamente $\frac{11}{5}$) 
Avatar Mary 17 de agosto 11:42
Hola, Flor! Pregunta, no me quedó muy claro por qué el segundo caso no tiene solución

Avatar Mary 17 de agosto 11:49
Es porque el denominador debe ser mayor que 0, y en el segundo caso x−1<0x - 1 < 0x−1<0 nos da x<1x < 1x<1? Lo relaciono de esa manera, pero no sé si lo estoy malinterpretando.
Avatar Flor Profesor 17 de agosto 12:04
@Mary Hola Mary! Fijate que en el segundo caso, para que se verifique que $-5x + 11 \leq 0$ y $x - 1 \lt 0$, llegamos a que:

$x \geq \frac{11}{5}$ y $x \lt 1$

Es decir, los $x$ que verificarían esto serían los mayores (o igual) a $\frac{11}{5}$ (que sería $2.2$) y también tiene que ser menor a $1$... y eso es un absurdo, no hay ningún número real que sea mayor a $2.2$ y menor a $1$ al mismo tiempo 😅 Por eso es que concluimos que no tiene solución, no hay ningún $x$ que verifique :) Se ve mejor?
Avatar Joaco 7 de agosto 16:17
Hola flor, no entiendo como llegaste a este resultado, ya mire las clases preliminares pero sigo sin entender.2024-08-07%2016:17:22_2473543.png
Avatar Flor Profesor 7 de agosto 18:00
@Joaco Hola Joaco! Ahí usamos lo que vimos en la clase de Operaciones con Fracciones, para hacer la resta entre estas fracciones:

$\frac{6}{x-1} -5$

Usando lo que vimos en esa clase, pensamos así la cuenta: 

$\frac{6}{x-1} - \frac{5}{1}$

y ahora ponemos como denominador común $x-1$

$\frac{6}{x-1} - \frac{5}{1} = \frac{}{x-1}$

¿Hasta acá vamos bien? 

Ahora hacemos los productos cruzados para completar el numerador y nos queda:

$\frac{6}{x-1} - \frac{5}{1} = \frac{6 \cdot 1 - 5 (x-1)}{x-1}$

Ahora distributiva:

$\frac{6 - 5x +5}{x-1}$

y ahí terminando de hacer la cuenta llegamos :)

$\frac{- 5x + 11}{x-1}$

Se ve más claro ahora los pasos?
Avatar Joaco 7 de agosto 19:30
Muchas gracias!

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