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Análisis Matemático 66
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CABANA
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA
1.3.
En los casos en que sea posible, escribir los siguientes conjuntos como intervalos o unión de intervalos. Representar todos los conjuntos en la recta numérica.
c) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{6}{x-1} \geq 5\right\}$
c) $\left\{x \in \mathbb{R} / \frac{6}{x-1} \geq 5\right\}$
Respuesta
Atenti con este problema. Lo primero que vamos a hacer es pasar el $5$ restando para el otro lado...
$\frac{6}{x-1} -5 \geq 0$...y ahora el término de la izquierda lo vamos a escribir como una única fracción, deberías llegar a este resultado:
$\frac{-5x + 11}{x-1} \geq 0$
(Si sumar dos expresiones fraccionarias te confunde, te sugiero que no dejes de mirar la clase de Operaciones con fracciones en la unidad de Ejercicios Preliminares, al principio del curso... esto es algo que vamos a hacer todo el tiempo, mejor tenerlo claro desde ahora!)
¿Y para qué querriamos expresarlo como una fracción? Porque lo que tenemos ahora vale oro! Mirá, estamos buscando los $x$ que verifican que esa fracción es mayor o igual a cero... Y eso ocurre en dos escenarios posibles, si tanto numerador como denominador son positivos, o si ambos son negativos, ¿me seguís? Separamos entonces en casos:
Caso 1:
$-5x + 11 \geq 0$ y $x - 1 \gt 0$
$-5x \geq -11$
$x \leq \frac{11}{5}$
$x \leq \frac{11}{5}$ y $x \gt 1$
Por lo tanto, el caso 1 es cuando $x \in (1, \frac{11}{5}]$
Caso 2:
$-5x + 11 \leq 0$ y $x - 1 \lt 0$
$-5x \leq -11$
$x \geq \frac{11}{5}$
$x \geq \frac{11}{5}$ y $x \lt 1$
Este caso no cumple con las condiciones, por lo tanto, no tiene solución.
Finalmente, la solución es $x \in (1, \frac{11}{5}]$
Tip: Para incluir el caso "igual a cero" propuse que los numeradores en ambos casos podían ser cero también.