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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 6 - Teoremas del cálculo diferencial y aplicaciones

EJERCICIO 1

Considere la función coseno hiperbólico \[\cosh (x)=\frac{e^{x}+e^{-x}}{2}\] definida sobre todo $\mathbb{R}$.

a) Muestre que $\cosh (x)$ verifica las hipótesis del teorema de Rolle en todo intervalo de la forma $[-a, a]$ con $a>0$.
b) Utilice un graficador. Halle a simple vista el valor de $c$ cuya existencia asegura la tesis del teorema y luego encuentre ese valor analíticamente.
EJERCICIO 8

a) Verificar que \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{3}}=+\infty\] Explicar con sus palabras por qué \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{e^{x}}{x^{n}}=+\infty\] para cualquier $n \in \mathbb{N}$. Esto demuestra que la función exponencial tiende al infinito más rápido que cualquier potencia de $\mathrm{x}$.
b) Probar que \[\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln (x)}{x^{p}}=0\] para cualquier número $p>0$. Esto demuestra que la función logarítmica tiende a infinito más lentamente que cualquier potencia de $\mathrm{x}$.
c) ¿Qué sucede si intenta usted utilizar la regla de L'Hopital para obtener el límite 
\[ \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} ?\] 
Evaluar el límite utilizando cualquier otro método.
EJERCICIO 9

Calcular los siguientes límites utilizando la regla de L'Hôpital:

a) $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{1-x+\ln (x)}{1+\cos (\pi x)}$
b) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \operatorname{sen}(x) \ln (x)$
c) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (m x)-\cos (n x)}{x^{2}}$
d) $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^+} \sec (x)-\operatorname{tg}(x)$
e) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{a}{x}\right)^{b x}$
f) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\operatorname{tg}(2 x))^{x}$
g) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(e^{x}+x\right)^{\frac{1}{x}}$
h) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (x))^{\frac{1}{x^{2}}}$
i) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(4 x+1)^{\operatorname{cotg}(x)}$
EJERCICIO 10.a

Hallar los intervalos de crecimiento y de decrecimiento y los extremos locales de las siguientes funciones:

a) $f(x)=2 x^{3}-3 x^{2}-36 x$
b) $f(x)=x^{2} e^{-3 x}$
c) $f(x)=\frac{x}{x^{2}-4}$
d) $f(x)=\frac{x^{2}}{x^{2}-4}$
e) $f(x)=\frac{\ln (x)}{x^{2}}$
EJERCICIO 10.b

¿Cuáles de las siguientes funciones son convexas y cuáles cóncavas? ¿En qué dominio? ¿Para qué valores del parámetro?

a) $f(x)=a^{x}, a>0$
b) $f(x)=\log _{a}(x), a>0$
c) $f(x)=e^{-\frac{1}{2} x^{2}}$
d) $f(x)=\sqrt[k]{x}, k \in \mathbb{N}$
e) $f(x)=x \ln (x)$
f) $f(x)=x^{r}, r \neq 0$

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