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Análisis Matemático 66

2024 PALACIOS PUEBLA

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

EJERCICIO 1

[Serpentina de Newton] La curva dada por \[y=\frac{4 x}{x^{2}+1}\] es llamada la serpentina de Newton.

a) Halle la ecuación de la recta secante a la serpentina que pasa por $(0,0)$ y $(1,2)$.
b) Llamemos $y=f(x)$. Halle la pendiente de la recta secante por los puntos $(0,0)$ y $(h, f(h))$ para $h=0,5$. ¿Qué sucede si lo hace para un $h$ genérico? ¿Qué pasa con la pendiente de la recta cuando $h$ tiende a 0 ?
c) Halle la ecuación de la recta tangente y la ecuación de la recta normal a la gráfica de $f$ en $(0,0)$.
EJERCICIO 3

a) Derivar las siguientes funciones utilizando las reglas de la suma y el producto por escalares:
1) $f(x)=\cos (x)+\operatorname{sen}(x)$
2) $f(x)=5 \ln (x)$
3) $f(x)=3 x^{5}-7 x^{3}+2$
4) $f(x)=\frac{3}{x}-\frac{4}{x^{2}}+\sqrt{x}$
b) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla del producto:
1) $f(x)=\operatorname{sen}(x) e^{x}$
2) $f(x)=x^{3} \ln (x)$
3) $f(x)=\sqrt[3]{x}\left(2 x^{3}+\cos (x)\right)$
4) $f(x)=\left(x^{5}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right) \cos (x)$
c) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla de la división:
1) $f(x)=\frac{2 x-3}{5 x+1}$
2) $f(x)=\frac{\cos (x)}{\operatorname{sen}(x)}$
3) $f(x)=\frac{\ln (x)}{2 x^{2}+3}$
4) $f(x)=\frac{e^{x}}{e^{x}+2}$
d) Derivar las siguientes funciones utilizando la regla de la cadena:
1) $f(x)=\ln \left(x^{2}+1\right)$
2) $f(x)=\cos ^{5}(x)$
3) $f(x)=\sqrt{5 x+1}$
4) $f(x)=\operatorname{sen}\left(x^{3}-2 x\right)$
e) Derivar las siguientes funciones combinando reglas:
1) $f(x)=(\operatorname{tg}(5 x))^{3}$
2) $f(x)=x e^{x^{2}+3 x}$
3) $f(x)=x \operatorname{sen}^{2}(x)-3 \operatorname{sen}(7 x)$
4) $f(x)=\frac{\cos (3 x)}{\sqrt{x^{4}+5}}$
EJERCICIO 4

a) Analizar si las siguientes funciones son derivables en $x_{0}=0$ :
1) $f(x)=|x|$
2) $f(x)= \begin{cases}\frac{1}{2} x-1 & x<0 \\ \sqrt{x+1} & x \geq 0\end{cases}$
3) $f(x)=\sqrt[3]{x}$
4) $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\operatorname{sen}(3 x) & x<0 \\ 5 x^{2}+3 x & x \geq 0\end{array}\right.$
b) Hallar los valores de $a$ y $b \in \mathbb{R}$ para que la función $f(x)= \begin{cases}\operatorname{sen}(x) & x<\pi \\ a x+b & x \geq \pi\end{cases}$ sea derivable en $x=\pi$.
EJERCICIO 5

Utilizando las reglas de derivación y la tabla de derivadas elementales calcule la recta tangente para las siguientes funciones en el punto indicado:

a) $f(x)=x \sqrt{3 x+1}$ en el punto $(1, f(1))$.
b) $f(x)=\frac{2 x+1}{x+2}$ en el punto $(2, f(2))$.
c) $f(x)=e^{x^{2}-9}$ en el punto $(3, f(3))$.

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