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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 8: Teorema de Taylor

EJERCICIO 1

Calcule las siguientes derivadas

a) $f(x)=\operatorname{sen}(x), \quad f^{(5)}(x), f^{(70)}(x)$
b) $f(x)=e^{x}, \quad \quad f^{(19)}(x), f^{(200)}(x)$
c) $f(x)=e^{k x}, \quad f^{(20)}(x)$
d) $f(x)=\ln (x+1), \quad f^{(4)}(x)$
e) $\left.f(x)=5 x^{3}+8 x, \quad f^{(\prime \prime \prime})(x), f^{(200)}(x)\right)$
EJERCICIO 2

Sea $f(x)=\ln (x+1)$. Encuentre un polinomio $p(x)$ de grado 3 tal que $p(0)=f(0), p^{\prime}(0)=f^{\prime}(0), p^{\prime \prime}(0)=f^{\prime \prime}(0)$ y $p^{\prime \prime \prime}(0)=f^{\prime \prime \prime}(0)$.

EJERCICIO 3

Calcule el polinomio de Taylor de las siguientes funciones hasta el orden indicado en el punto dado

a) $f(x)=\frac{1}{1-x}$ orden 5 $x_{0}=0$
b) $f(x)=\operatorname{sen} x$ orden 4 $x_{0}=0$
c) $f(x)=\operatorname{sen} x$ orden 5 $x_{0}=0$
d) $f(x)=\cos x$ orden 5 $x_{0}=0$
e) $f(x)=\ln x$ orden 4 $x_{0}=1$
f) $f(x)=\sqrt{x}$ orden 3 $x_{0}=4$
g) $f(x)=e^{x}$ orden 5 $x_{0}=0$
h) $f(x)=(1+x)^{6}$ orden 6 $x_{0}=0$
EJERCICIO 4

Compruebe que el polinomio de Taylor de orden $n$ de la función $f(x)=e^{x}$ es $p(x)=1+\frac{x}{1 !}+\frac{x^{2}}{2 !}+\frac{x^{3}}{3 !}+\ldots+\frac{x^{n}}{n !}$.

EJERCICIO 5

Obtenga el polinomio de Taylor de orden $n$ de las siguientes funciones en $x_{0}=0$

a) $f(x)=\frac{1}{1-x}$
b) $f(x)=\cos x$
c) $f(x)=\operatorname{sen} x$
d) $f(x)=e^{2 x}$
e) $f(x)=\frac{1}{1-x^{2}}$
f) $f(x)=\ln (1+x)$
EJERCICIO 6

Sea $q(x)=x^{4}-8 x^{3}-4 x^{2}+3 x-2$

a) Halle los polinomios de Taylor de $q$ en $x_{0}=0$ de orden 1 a 6
b) Haga lo mismo, sin hacer los cálculos, para $p(x)=x^{20}+x^{19}+x^{3}+x^{2}+x+1$
EJERCICIO 7

Si el polinomio de Taylor de $f$ de orden 5 en $x=2$ es $p(x)=(x-2)^{5}+3(x-2)^{4}+3(x-2)^{2}-8$, calcule $f^{(4)}(2)$ y $f^{(\prime \prime \prime)}(2)$. ¿Se puede conocer el valor de $f^{(6)}(2)$? ¿Cuánto vale $f^{(6)}(2)$ si el polinomio $p$ es de orden 7?

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