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Análisis Matemático 66

2024 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 11: Series

EJERCICIO 1

Escriba el término general de las siguientes series (En los casos que la serie sea geométrica o telescópica, escriba la expresión de las sumas parciales y calcule la suma de la serie)

a) $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\ldots$
b) $1+\frac{1}{3}+\frac{1}{7}+\frac{1}{15}+\frac{1}{31}+\ldots$
c) $1+\frac{2}{3}+\frac{4}{9}+\frac{8}{27}+\ldots$
d) $\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+\frac{1}{30}+\frac{1}{42}+\ldots$
EJERCICIO 2

Calcule la suma de las siguientes series, en caso de que sean convergentes.

a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^{n+1}}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{3^{n}+4^{n+1}}{5^{n}}$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{2 n}-1}{4^{n+1}}$
d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{n(n+1)}$
e) $\sum_{n=4}^{\infty} \frac{1}{n(n-1)}$
f) $\sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}$
EJERCICIO 3

Calcule el valor de $a>0$ para que $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1+2^{n}}{a^{n}}=\frac{35}{12}$.

EJERCICIO 4

Decida si cada una de las siguientes series es convergente o divergente:

a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^{3}+1}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}+n-1}$
c) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{3}+1}{4 n^{4}+5 n-1}$
d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{3^{n}}$
e) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3+(-1)^{n}}{2^{n+1}}$
g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \sqrt{n+1}}$
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2+\sin^{3}(n)}{2^{n}+n^{2}}$
i) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n!}{(n+2)!}$
j) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\sqrt[3]{n^{2}}+\sqrt{n}}{n^{2}+n+1}$
EJERCICIO 6

Use el criterio de la raíz o del cociente, según convenga, para determinar la convergencia o divergencia de las siguientes series:

a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^{n}}$
b) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n^{2}}$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(n!)^{2}}{(2 n)!}$
d) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^{n} n!}{n^{n}}$
e) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(1000)^{n}}{n!}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty}\left(\sqrt[n]{n}-\frac{1}{2}\right)^{n}$
g) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{\ln ^{n} 2}$
h) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^{n} n!}{n^{n}}$
EJERCICIO 7

Determine la convergencia o divergencia de las series que siguen. En caso de convergencia, decida si ésta es absoluta o condicional.

a) $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos (n+1)}{n^{3}+1}$
b) $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n+1} \frac{\sqrt{n}}{n+100}$
c) $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{3^{n}+5 n}$
d) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(\frac{2 n+100}{3 n+1}\right)^{n}$
e) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{\ln n}{n}$
f) $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n}\left(1-\frac{1}{n}\right)^{n}$

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