La fuerza normal (también llamada "apoyo") es una fuerza de contacto que aparece cuando un cuerpo está apoyado sobre una superficie. Siempre es perpendicular a la superficie (por eso se llama “normal”, es un sinónimo de "perpendicular") y empuja hacia afuera, nunca hacia adentro de la superficie. 

Sobre el signo.. Eso depende del sistema de referencia, pero en general todos usamos uno donde la normal es positiva y el peso negativo, o sea, lo hacemos con el eje $y$ apuntando hacia arriba. En ese sentido la normal es generalmente positiva, pero depende de la situación..

Por ejemplo:

Si estás parada en el piso, la normal es vertical y hacia arriba, y vale lo mismo que tu peso si estás quieta.

Si estás colgando de una soga como la caja en el ejercicio del video, no hay normal. Porque no estás apoyada en ninguna superficie.

Peeero si estás en un plano inclinado o si hay más fuerzas actuando (como alguien empujándote hacia abajo o tirando hacia arriba), el valor cambia y se calcula con una cuenta de trigonometría (tranqui con esto ahora) y generalmente, tu sistema de referencia apunta en la misma dirección y sentido que la normal.

¿Tiene un valor fijo?  Nop, depende de la situación. A veces te lo dan, otras veces lo tenés que calcular a partir de las otras fuerzas haciendo el planteo de la segunda ley de Newton. Pero SIEMPRE hacete un DCL de la situación, así podes ver fácilmente qué fuerzas actúan sobre el cuerpo. 


En la mayoría de los ejercicios donde el movimiento no ocurre en el eje $y$ (o sea, no es un movimiento vertical), como por ejemplo, un caballo que tira una carreta.. La carreta está apoyada en el piso, así que tenés la fuerza normal, y también tenés la fuerza peso. Si planteas el SR positivo hacia arriba, te queda que la sumatoria de fuerzas en el eje $y$ da cero (la 2da ley de newton en el eje $y$), porque no hay movimiendo en el eje $y$, la carreta no se mueve hacia arriba ni hacia abajo (no se hunde en la Tierra por la fuerza peso). Es decir que la fuerza normal tiene el mismo módulo que la fuerza peso, pero signos contrarios: 

$\sum \vec{F} = m \cdot \vec{a}$ en el eje $y$

$N +  (-P) = m \cdot \vec{a}$ -> no hay aceleración en ese eje

$N - P = 0$

$N = P$

3) La caja desciende aumentando su velocidad (Tensión > Peso) y la aceleración apunta hacia abajo (en el mismo sentido que el desplazamiento, es decir que el móvil acelera).

4) La caja desciende disminuyendo su velocidad (Tensión > Peso) y la aceleración apunta hacia arriba (en sentido contrario al desplazamiento, es decir que el móvil frena).



Ahora bien, ¿cuál es el signo de la aceleración? Eso depende del SR que hayas elegido:

-> Si elegiste un SR positivo hacia arriba, entonces en el caso 1 y 3 va a ser positiva, y para los casos 2 y 4 va a ser negativa.

Lo que hice fue plantear T-P= m.a, y luego reemplacé el P (P=m.g), y finalmente lo pasé del otro lado del igual para poder despejar la tensión.
Hubiera sigo lo mismo que hiciera T-P= m.a, y luego T= m.a + P y hí remplazar el peso como T = m.a + m.g