El gráfico que te dan es de la fuerza de la soga, sería T (la tensión). No es la fuerza resultante, fijate que dice "el gráfico representa la fuerza hecha por la cuerda en función de la posición". O sea, del área bajo la curva de ese gráfico vas a obtener el trabajo de la tensión: $L_T$

Entonces, acá podés usar tranquilamente $\Delta E_M = L_{NC} = L_T$

El trabajo de la tensión, sale del gráfico, y la variación de energía mecánica la descompones en la variación de cinética y en la variación de energía potencial, que como vos decís, la energía potencial inicial es 0. Entonces te quedaría:

$L_T = E_{Cf} - E_{Ci} + E_{pf} + E_{pi}$ 

$L_T = E_{Cf} - E_{Ci} + E_{pf} + 0$ 

$L_T = \frac{1}{2} m v^2 - \frac{1}{2} m v_0^2 + mgx$ 

Notá que la altura, en este caso, es el desplazamiento x que ocurre en el eje vertical.

$L_T$ sale del área bajo la curva, la $v_0$ es dato al igual que la masa y la gravedad.. 

Por cierto, aunque el es una fuerza conservativa (que no vamos a considerar para el planteo de ahi arriba), está interesante que notes que en este tipo de ejercicios, el peso hace trabajo porque como el movimiento ocurre en el eje $y$, (nos dicen el cuerpo sube verticalmente). Es una fuerza que va en la misma dirección que el desplazamiento pero en sentido contrario. Por si te lo llegan a preguntar.