Producto de expresiones algebraicas - Propiedad distributiva - Cuadrado de binomio - Diferencia de cuadrados

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¿Te pasó alguna vez que estás resolviendo un ejercicio y de repente aparece una multiplicación rara entre paréntesis… y no sabés bien por dónde empezar?😬

Bueno, la clave para esos casos es entender y dominar la propiedad distributiva.
Esta herramienta es fundamental, y la vamos a aplicar una y otra vez a lo largo de toda la materia.


Para eso, vamos a ver cómo se resuelven productos entre expresiones algebraicas. Recordá que en matemáticas, "producto" significa simplemente "multiplicación".

Además, te voy a mostrar dos casos particulares que aparecen todo el tiempo en parciales y que conviene tener bien a mano:

• el cuadrado de un binomio

• la diferencia de cuadrados

💡Mi consejo: anotate estas fórmulas y tenelas cerca, porque las vas a usar muchísimo.

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Avatar Agustina 28 de abril 20:50
Hola Juli, consulta, vengo del futuro donde hay un ejercicio que me queda un Binomio así: (-12 -a) al cuadrado. La primera vez que lo resolví pensé en esto que dijiste en el minuto 8:47, que en la fórmula del binomio no hay que agregar los signos de los números porque ya los tenes en la fórmula, bueno me di cuenta que lo interpreté mal, porque en el caso del ejemplo que te menciono, la solución la das así: -12 al cuadrado - 2 . (-12) . a + -a al cuadrado.
Solo para que me quede clarísimo (y porque regla de signos es un error muy común que tengo en la práctica): en los segundos términos del cuadrado de un binomio sí se aplica la regla de signos no?
El video en cuestión está en Recta real y Plano, Distancia entre Dos Puntos, Misma incógnita en las dos coordenadas

Gracias y perdón el choclo!
Avatar Julieta Profesor 29 de abril 09:36
@Agustina Hola Agus! Me hiciste reir!! Mirá, mi tip es siempre respetar el signo del medio en el binomio. Ese signo es el que te indica qué fórmula de cuadrado de bonomio usar: si la de la suma o la de la resta. 

Entonces, si tenés $(-12-a)^2$, mirando el paréntesis, el signo que está entre los números es el signo de la fórmula. En este caso (-12-a) es el "-" que está entre el -12 y la a. 

De esa forma, el -12 es simplemente un número en la fórmula del cuadrado de un binomio. Me explico: 

La fórmula para la resta es $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

En este caso $(-12-a)^2$ los valores de la fórmula serían $a=-12$ y $b=a$ (jaja qué justo che!) Entonces te queda: 

$(-12-a)^2 = (-12)^2 - 2(-12)a + a^2 = 144 + 24a + a^2$ 

¿Se entiende?

Avatar judith 16 de abril 18:36
Hola, no comprendo por que desde el minuto 12:47 la x es al cuadrado y no puede ser 2x lo mismo por que no se resuelve 2x2 o en todo caso el exponente 2 al cuadrado. 
Avatar Julieta Profesor 16 de abril 19:12
@judith Hola Judith! No sé si entendí bien tu consulta pero, cuando te queda la expresión: $x.x  +  2x  -  2x  -  2^2$, al hacer la cuenta de $2x-2x=0$ podés cancelar las $2x$.
La $x^2$ no tenés forma de resolverla, porque no conocés el valor de $x$, así que queda así tal cual está.
Y el $2^2$ podrías resolverlo y te daría 4, lo cual estaría super bien!!
Pero mi objetivo en este ejercicio es que puedas ver cómo se obtiene una diferencia de cuadrados $(x^2 - 2^2)$ a partir de un producto de factores $(x-2)(x+2)$, por eso lo escribí de esa forma ☺️
Avatar Magaly 10 de abril 19:08
Profe cual es la formula de cuadrado de un binomio
Avatar Julieta Profesor 10 de abril 19:22
@Magali Hola Maga! Las dos primeras de los Casos Particulares que muestro en el video. Son dos fórmulas porque tenés cuadrado de un binomio para la suma o para la resta. Justo tu compañera Brenda dejó una foto en el comentario de abajo con ambas fórmulas.
Avatar Brenda 28 de marzo 21:16
Hola Profe buenas, una consulta el la parte del Cuadrado de un Binomio no tendria que aplicarse tambien distributiba: b x a?, por que va directo: b x b?2025-03-28%2021:14:25_8105014.png
Avatar Julieta Profesor 29 de marzo 15:36
@Brenda Hola Bren! Sí, se aplica! solo que $ba$ es lo mismo que $ab$ pues "el orden de los factores no afecta el producto" jeje. Y de hecho se suma con el otro término ab, quedándote en la fórmula el término del medio $2ab$. Te muestro:

$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ -> fórmula del cuadrado de un binomio para la suma


¿Por qué es así? Si desarrollamos el producto como vos lo estás haciendo podés verlo:

$(a + b)^2 = (a + b)(a + b)$

y ahora hacemos distributiva:


Usamos la distributiva:

$(a + b)(a + b)$ 

$a^2 + ab + ab + b^2$

$a^2 + 2ab + b^2$

Avatar Yuliana 11 de enero 15:06
hola juli como va? 
ahí en el el tiempo 5:55 que decís el 2 que viene dado por la formula y que formula? estuve repasando y capaz me saltee un video.
Avatar Julieta Profesor 15 de enero 18:14
@Yuliana Hola! Mil gracias por ponerme el minuto de video en la consulta🥰

Es cuadrado de un binomio, fijate que justo la estoy tapando porque estoy parada en el pizarrón, pero un cachito antes lo digo. Es para usar "cuadrado de un binomio" en el caso de la suma. 
Avatar Almond 10 de septiembre 15:35
Profe consulta por que en un ejercicio ustedes tacha el 3x + 3x
Y el el otro no tacho el -2× -2x?

Avatar Julieta Profesor 12 de septiembre 19:40
@Carla Hola, no sé si los taché o no, pero definitivamente los resté, que es lo importante :)
Avatar Brenda 15 de agosto 13:04
Profe, consulta ¿Por qué en el último ejercicio tacha el +2X-2X? ¿Por qué se cancelan? 
Avatar Julieta Profesor 17 de agosto 07:31
@Bren Hola Bren, porque es la misma expresión pero una suma y la otra resta. Es la típica situación de "peras y manzanas". 
En esa cuenta tenés 4 términos:  $x^2 + 2x - 2x -4$

En la expresión $x^2$ sería una pera, las $x$ serían manzanas, y los números solitos como el $4$ serían una uva jeje. Son cosas diferentes, no podes operar matemáticamente en una suma o resta con ellas, o sea, no podés sumar peras con manzanas o con uvas (tampoco restarlas)

Pero como sí podés sumar o restar si se trata de la "misma fruta", es decir, en $x^2 + 2x - 2x -4$ tengo el 2do y el 3er término con peras!! Así que puedo operar: 
"Si tengo 2 manzanas y le resto 2 manzanas, me quedarían 0 manzanas", es por eso que se restan. Pensémoslo con los números: 
Si tengo $2x$ y le resto $2x$ me quedarían $0x$, es decir, ninguna. 

Peeero, cuando tenemos cuentas así, en lugar de hacer la resta mostrando que el resultado de operar esos términos da cero, lo que una hace es cancelarlos (que es lo mismo pero te ahorras escritura😉).
Avatar Brenda 29 de marzo 16:27
@Julieta Gracias Profe 👍🏻
Avatar Beyker 10 de abril 08:05
Hola Juli, como va? 

Profe si (x-2)²= lo reeorganizo y lo escribo (-2+x)² = y desarrollo es valido? 

Avatar Julieta Profesor 10 de abril 17:36
@Beyker Hola Beyker, hermosa pregunta, es perfectamente válido como lo planteaste :) Simplemente tené en cuenta que en el primer caso usas la fórmula del cuadrado de un binomio para la resta donde $a=x$ y $b=2$, mientras que en el segundo caso que escribiste, tenés que usar la fórmula del cuadrado de un binomio para la suma, donde $a=-2$ y $b=x$.
Avatar Beyker 13 de abril 19:46
Gracias Juli!

Avatar Natalia 24 de marzo 01:52
Hola profe, perdón que vuelva a preguntar pero en cuanto al ejercicio (3-b)^2= 9+6b-b^2 aplicando la fórmula me salió 9-6b+b^2 y no sé qué hice mal, si podrías sacarme la duda por favor
Avatar Julieta Profesor 24 de marzo 08:43
@Natalia ¡Hola Nati! Sí, así está perfecto, porque es la fórmula del desarrollo del cuadrado de un binomio de la resta. 
Avatar Xicosys 19 de marzo 01:52
Buenas Profe, Pregunta ( entre los 2 minutos y 3:15 )cuando no habia símbolo entre medio de los paréntesis que separan los binomios, no debería tomarse como una multiplicación ?
Avatar Julieta Profesor 22 de marzo 18:51
@Xicosys ¡Hola xicosys! Sí, exactamente. Es una multiplicación (también se le llama producto) y se resuelve con la propiedad distributiva
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