📚 Las tres formas de expresar una función cuadrática

En la clase de función cuadrática vimos que a estas funciones las podemos expresar de esta manera:

$f(x) = ax^2 + bx + c$

A esta forma la llamamos forma polinómica.

Por ejemplo, esta es una función cuadrática expresada en forma polinómica:

$f(x) = 2x^2 -4x -6$

👉 El signo de $a$ (coeficiente principal) nos dice si nuestra parábola era carita feliz (🙂) o carita triste (🙃)

👉 Las raíces las podemos encontrar igualando la función a $0$ y usando la fórmula resolvente (Bhaskara)

👉 La coordenada $x$ del vértice ($x_v$) la encontramos planteando:

$x_v = -\frac{b}{2a}$

Y, como en cualquier función, para encontrar la coordenada $y$ de ese punto evaluamos la coordenada $x$ en nuestra $f$, así que en este caso para encontrar el $y$ del vértice ($y_v$) hacemos $f(x_v) = y_v$.

Ahora, como te mencioné casi al final de la clase, esta no es la única forma de expresar una función cuadrática...

➡️ La forma factorizada

Otra manera de expresar una función cuadrática es así:

$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$

Donde $x_1$ y $x_2$ son las raíces de la función y $a$ sigue siendo el coeficiente principal.

Aclaración para pensar: ¿Tiene sentido que $x_1$ y $x_2$ sean raíces de $f$, no? Acordate que para encontrar las raíces de cualquier función planteamos $f(x) = 0$. En este caso,

$f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2) = 0$

Si ese producto nos está dando cero, es porque $x - x_1 = 0$, o bien porque $x - x_2 = 0$. Despejando en cada caso vemos que los números que hacen que $f(x) = 0$ son $x = x_1$ y $x = x_2$.

👉 Entonces, cuando me dan la cuadrática en forma factorizada ya puedo ver las raíces inmediatamente, no necesito aplicar la resolvente.

Por ejemplo, si nuestra función es:

$f(x) = 2(x-3)(x+1)$

Automáticamente ya podemos decir que las raíces de $f$ son $x = 3$ y $x = -1$.

👉 Como vimos en la clase de función cuadrática, ya conociendo las raíces, nos conviene encontrar el $x$ del vértice así:

$x_v = \frac{x_1 + x_2}{2}$

Esto es porque la parábola es simétrica respecto del eje vertical que pasa por el vértice; este eje de simetría tiene que estar justo a mitad de camino entre las dos raíces, sino no sería simétrica.

Por último, quiero aprovechar para contarte que existe una tercera forma de expresar una función cuadrática...

➡️ La forma canónica

En este caso vamos a escribir a nuestra $f$ así:

$f(x) = a \cdot (x - x_v)^2 + y_v$

Donde $x_v$ y $y_v$ son las coordenadas del vértice, y $a$ sigue siendo el coeficiente principal.

Apaaaa, qué interesante! Si me dan la cuadrática escrita así, entonces ya tenemos servido cuál es el vértice 😉

Por ejemplo, esta es una función cuadrática expresada en forma canónica:

$f(x) = 2 \cdot (x-1)^2 - 8$

Sin hacer ninguna cuenta, podemos ver a ojo que el vértice de nuestra parábola va a estar en el punto $(1,-8)$.

Importante 💡 Estas son distintas formas de expresar a la misma función. Las tres funciones que yo te fui poniendo de ejemplo en este apunte, si las graficás vas a ver que son la misma función, aunque sus expresiones se vean muy diferentes.

a) Forma polinómica → $f(x) = 2x^2 -4x -6$

b) Forma factorizada → $f(x) = 2(x-3)(x+1)$

c) Forma canónica → $f(x) = 2 \cdot (x-1)^2 - 8$

Los gráficos de estas tres son idénticos, porque son la misma función 😉

Resumen de las tres formas:

Forma	Ecuación	El dato clave que nos da directamente 👇
Polinómica	$f(x) = ax^2 + bx + c$	Coeficientes $a$, $b$ y $c$
Factorizada	$f(x) = a(x - x_1)(x - x_2)$	Raíces
Canónica	$f(x) = a(x - x_v)^2 + y_v$	Coordenadas del vértice

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Valentina 1 de mayo 11:46

Hola Flor, tengo una duda, en la forma canónica como saco las raíces? Igualó a 0?

Flor Profesor 4 de mayo 08:54

@Valentina Hola Valen! Buena preguntaaaaa! Primero, siempre siempre que nosotros queremos buscar las raíces de una función estamos buscando los $x$ para los cuales esa función vale cero, asi que si, igualamos a cero.

Ahora, una vez que la tenés igualada a cero, tenés dos caminos para despejar esas raíces. Te lo muestro por ejemplo con esta:

$2 \cdot (x-1)^2 - 8 = 0$

Camino 1: Abris ese $(x-1)^2$ con la fórmula del cuadrado de un binomio y lo llevas a forma polinómica... y ahi aplicas la resolvente. En este caso te quedaría

$2 \cdot (x^2 -2x + 1) - 8 = 0$

$2x^2 - 4x + 2 - 8 = 0$

$2x^2 - 4x -6 = 0$

Y con la resolvente obtenés $x = 3$ y $x = -1$

Camino 2: También podés despejar asi:

$2 \cdot (x-1)^2 - 8 = 0$

Paso el 8

$2 \cdot (x-1)^2 = 8$

Paso el 2 dividiendo

$(x-1)^2 = 4$

Aplico raiz cuadrada a ambos miembros

$|x-1| = 2$

Atenti que ahi te queda módulo del lado izquierdo ;) Entonces ahora abris el módulo y de ahi te salen las dos soluciones:

-> $x-1 = 2$ --- De acá obtenés $x = 3$

-> $x-1 = -2$ ---- De acá obtenés $x = -1$

Por cualquiera de los dos caminos, usá el que te resulte más fácil, llegas a las raices de esa cuadrática :)

Agostina 19 de agosto 23:26

Hola flor, consulta Donde expresas la forma canónica, las coordenadas del vértices, se les cambia el signo no? Porque en el ejemplo que diste le cambiaste al 1 pero no al -8. y con todas las funciones se es cambia el signo o solo con la canónica?

Espero tu respuesta gracias

Flor Profesor 21 de agosto 08:27

@Agostina Hola Agos! El tema es así. Por ejemplo, la expresión canónica es esta:

$f(x) = a \cdot (x - x_v)^2 + y_v$

Entonces, donde dice $y_v$ vos tenés que poner el $y$ del vértice -> Si ese $y$ del vértice es $-8$, como en este caso, yo pongo $-8$, por eso me aparece...

$f(x) = a \cdot (x - x_v)^2 -8 $

Si el $x$ del vértice es $1$, entonces donde dice $x_v$ pongo $1$, pondría esto:

$f(x) = a \cdot (x - 1)^2 -8 $

Peeero, por ejemplo, si el $x$ del vértice fuera $-1$, entonces donde dice $x_v$ yo pondría ahora $-1$ y fijate que queda así

$f(x) = a \cdot (x - (-1))^2 -8 $

$f(x) = a \cdot (x + 1)^2 -8 $

Se entiende?

O sea, no es que cambiamos signos a mano ni nada raro jaja simplemente vamos poniendo lo que corresponde con el signo que tiene, se ve?

Camila 8 de agosto 15:01

Hola Flor, tengo una consulta. De las guías cómo sabemos hasta donde aproximadamente vamos resolviendo según cada vídeo. Por ejemplo en la unidad 1, en el campus, dice hasta ej 27 aprox pero ahí dan temas que acá están después o en otro orden. Más que nada para no hacer toda la práctica completa al final, sino ir resolviendo luego de cada tema

Flor Profesor 8 de agosto 20:53

@Camila Hola Cami! Siii, sólo por esta práctica los puse en un orden diferente (para mi resulta un poco más fácil verlos en este orden)

Si no te llegas a dar cuenta por los enunciados qué ejercicios podés hacer y cuáles no, te los ordeno un poco para que tengas una noción:

Del 1 al 12 es todo de Conjuntos

Del 13 al 16 es de Introducción a funciones

17 - 18 - 19 -> Función lineal

Y acá van siguiendo todas las funciones, por ejemplo, los que siguen son de función cuadrática, después de función homográfica y así

Cualquier cosa preguntame, pero creo que con esta guía va a ayudar... De paso, las guías de UBA XXI hay que mirarlas con cuidado jaja porque tienen ejercicios claves que está bueno usarlos para practicar y otros muy muy volados, que no tienen nada que ver con el enfoque que tiene después la materia y los parciales... Los ejercicios más claves vas a ver que tienen un cartelito de "Recomendado", y en los otros, por más que los encuentres resueltos, seguro vas a ir viendo que en la resolución aclaro que es un ejercicio salteable, que no se vuelvan locos con ese, etc... así que en las resoluciones te voy guiando también con eso, que por ahí es lo que más cuesta al principio

Avisame cualquier cosa :)

Flor Profesor 9 de agosto 09:36

@Camila Camiii ahi les mandé un mensajito para todos los del curso hablando sobre esto, aprovechando tu mensaje! Lo ves arriba a la derecha en la campanita :)

L 13 de febrero 10:08

Hola! Por que en la function 2(x-1)*2 -8 El vertice de la parabola es (1, -8) y no (-1. -8) ? Gracias

Flor Profesor 13 de febrero 16:38

@L Hola! Fijate que la expresión canónica nos dice que

$f(x) = a \cdot (x - x_v)^2 + y_v$

y ahora mirá fijo a esta $f$

$f(x) = 2 \cdot (x-1)^2 - 8$

Fijate que adentro del paréntesis tenemos $(x-1)$, y en la expresión general $(x - x_v)$... es decir, $x_v = 1$, por eso la coordenada es $1$ y no $-1$

En cambio, si nuestra $f$ hubiera sido esta:

$f(x) = 2 \cdot (x+1)^2 - 8$

ahí lo pienso como:

$f(x) = 2 \cdot (x-(-1))^2 - 8$

y en este caso si el $x_v = -1$

Se ve mejor ahora?

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