Fijate que vos en ese momento tenés la $x$ multiplicando a toda esa raíz que tiende a 1 (si querés imaginatela como un 1 multiplicando, aunque no lo escribas), y por otro lado tenés sumando a $x$. Cuando sacas factor común $x$, adentro del paréntesis te queda la raíz + 1. De la misma  manera que vos, donde tenías la $x$ sola, cuando sacaste factor común pusiste únicamente un 1 (y no 1/x), acá es lo mismo, ponés sólo la raíz (que es algo que en el siguiente paso ya vamos a tomar límite y vamos a ver que tiende a 1) 

Si vos en lo que escribiste en tu hoja hacés la distributiva, fijate que se te simplifican las $x$ y te queda solo la raíz, o sea, no recuperaste lo que tenías arriba. En cambio, si vos sólo ponés la raíz, te queda $x$ por la raíz, y listo, es exacto lo que tenés arriba

Que te confundan que hay $x$ adentro de la raíz, esa raíz vos ya sabés que tiende a 1, imaginatela como un número multiplicando a la x :)

Avisame porfa si así quedó más claro! :)

Fijate que en estos casos nosotros estamos sacando factor común con un objetivo, que es salvar la indeterminación "infinito sobre infinito". Para que la técnica "funcione" y podamos salvar la indeterminación, si o si tenés que sacar factor común "el que manda". Si sacás factor común cualquier otra cosa, no va a andar. ¿Quién manda? En estos ejemplos de polinomios es la potencia más grande de $x$, por eso en este ejemplo si o si tenías que sacar factor común $x^3$. 

(Muy distinta es la situación cuando estamos despejando ecuaciones y ahí sacamos factor común con otro objetivo, que es despejar la ecuación. Ahí si por lo general vamos a sacar factor común lo que posta comparten en común todos los términos)

Con respecto a tu duda: En las indeterminaciones "infinito / infinito" cuando se trata de un cociente de polinomios, una manera que ayuda para salvar la indeterminación es sacar factor común, no cualquier cosa, sino "el que manda", o sea la potencia más grande de x. Ahora, no todas las indeterminaciones "infinito / infinito" se salvan así, de hecho dentro de poco vamos a ver que estas indeterminaciones también se pueden salvar usando la Regla de L'Hopital. 

Ahora, las indeterminaciones "cero / cero" (que podrían aparecerte cuando x tiende a número) típicamente se salvan usando L'Hopital, como les comenté en la primera clase de Límites. En la guía vas a encontrar varias "cero / cero" que en este punto se tienen que salvar sin poder usar L'Hopital todavía. En ese caso, una de las maneras de hacerlo es tratando de reescribir la expresión (por ejemplo, puede ser sacando factor común) para que algo entre numerador y denominador se cancele, pero depende mucho del ejercicio. Acá para el curso yo resolví toda la práctica 2 y podés chequear muchos de estos límites cómo se salvarían sin usar L'Hopital, pero te repito, una vez que uno aprende derivadas y L'Hopital, en el parcial las "cero/cero" seguro las termines salvando así y no tengas que factorizar nada.