Función cuadrática ¿Qué es? ¿Cómo se expresa? ¿Cuál es su gráfica? - Función Cuadrática - Matemática 51 - Cátedra Gutierrez (Única) | Exapuni

Función cuadrática ¿Qué es? ¿Cómo se expresa? ¿Cuál es su gráfica?

En este video vamos a tirarnos de lleno a las famosísimas funciones cuadráticas✨, que son funciones polinómicas de grado 2, y que pueden expresarse de tres formas diferentes (aunque sea exactamente la misma función):

• Polinómica -> $f(x) = ax^2 + bx + c$

• Factorizada -> $f(x) = a \cdot (x - x_1) \cdot (x - x_2)$

• Canónica -> $f(x) = a \cdot (x - x_v)^2 + y_v$

Cada expresión nos ofrece información muy valiosa, como por ejemplo: su vértice, o sus raíces, o el punto donde la gráfica corta al eje $y$, dependiendo de la expresión que te hayan dado.

Su gráfica es una parábola. Y es el signo de $a$ (el coeficiente principal que nunca puede valer cero) nos indica si ésta es del tipo "feliz" ($\cup$), cuando $a>0$; o "triste" ($\cap$), cuando $a<0$.

👉En el próximo video vamos a ver cómo es el estudio de funciones cuadráticas, que es uno de los temas que más suelen tomar en esta materia.

Acerca del video

💡En el siguiente apunte "Datos que surgen de las fórmulas de funciones cuadráticas" te dejo las fórmulas que sí o sí tenés que saber para rendir el primer parcial sobre funciones cuadráticas.

Tranqui, que con la práctica las vas a ir recordando. Te lo prometo😉

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Lucia 23 de abril 23:06 Destacado

hola! no entiendo cuando decimos que en la forma canonica las vertices salen de la formula a que se refiere? como seria? por ejemplo por que en f(x)=3(x-5)^2+7 xv seria 5 y yv 7 ??

Julieta Profesor 29 de abril 09:04

@Lucia Hola Lu! Claaaaro, es como decís! Acordate que la fórmula canónica es $f(x)=a(x-x_v)^2+y_v$ (donde $a$ nunca puede valer cero). Y en tu fórmula justamente, el valor que se resta a la $x$ es un 5 -> $x_v=5$; mientras que el valor que se suma al final del binomio que está elevado al cuadrado es un 7 -> $y_v=7$

Ahora bien.. ojo que a veces te puede aparecer la función canónica de formas ligeramente diferentes, y está en vos poder darte cuenta que es eso mismo. Te muestro ejemplos, donde te muestro las coordenadas del vértice y el factor $a$:

Ejemplo 1:

$f(x)=(x-3)^2+8$

-> $x_v=3$
-> $y_v=8$
-> $a=1$

Ejemplo 2:

$f(x)=-2(x+3)^2+7$

-> $x_v=-3$ 💡

-> $y_v=7$

-> $a=-2$

💡Notá que acá $x_v = -3$ por la regla de los signos: -.- = +, es decir: (x+3)=(x-(-3)).

Ejemplo 3:

$f(x)=6-2(x-1)^2$

-> $x_v=1$

-> $y_v=6$ 💡

-> $a=-2$

💡Notá que acá solo movieron de lugar la $y_v$. En lugar de sumarla al final la pusieron delante. Es decir, es lo mismo tener $6-2(x-1)^2$ que tener $-2(x-1)^2+6$

Ejemplo 4:

$f(x)=5(x-4)^2$

-> $x_v=4$

-> $y_v=0$ 💡

-> $a=5$

💡*Notá que acá $y_v=0$, por eso no hay número sumando ni restando a la función.

Espero que te sirva para terminar de entenderlo. Igualmente tranqui que en cada ejercicio que resuelvo lo explico😉

Lucia 29 de abril 14:19

@Julieta gracias juli! ya entendi muy claro

Manuela 14 de mayo 22:15

Juli, cuando decís que para sacar Yx hay que reemplazar en la función por el valor de Xv que obtuvimos F(Xv), a qué te referís? Como se resuelve eso para obtener un valor como resultado?

Julieta Profesor 15 de mayo 13:18

@Manuela Hola Manu! Viste que vos tenés una función donde la variable es $x$, por ejemplo para la función $f$ tenemos: $f(x) = x^2 - 4x + 3$

Bueno, esa variable $x$ puede tomar cualquier valor. Si vos conocés la $x$ del vértice y la reemplazás en la función te va a dar la $y_v$:

Por ejemplo, si calculas la $x_v$ te quedaría:

$x_v = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(1)} = \frac{4}{2} = 2$

Y para calcular la $y_v$ tenés que reemplazar en la función la $x_v$:

$y_v = f(x_v) = (x_v)^2 - 4(x_v) + 3$, es decir que te quedaría $y_v = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$

$y_v=-1$

Zoe 16 de mayo 18:09

Como se reemplaza la Xv en la funcion factorizada? En cual de las X iria el valor de Xv? en las que son Variables? es decir, las que no serian x1-x2?

Julieta Profesor 20 de mayo 08:01

@Zoe ¡Exactamente eso Zoe! Claaacro, las que son variables, las otras son las raíces, son números definidos en una función, no podés reemplazarlos por otra cosa

11 de septiembre 11:43

Profe, no compreendi el reemplazo para hallar el Y del vertice. Como reemplazar el Xv al Yv?

Liz Respuesta Correcta 11 de septiembre 23:34

Cuando tenes la xv y la reemplazas en la función lo que obtenés es la yv.

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