Ejercicio - Estudio de funciones polinómicas. Conjunto de ceros, positividad y negatividad con Bolzano

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Avatar Renata Hace 8 horas
prof, te dije en preguntas anteriores que se me está complicando la parte de demostrar mi resolución. hice essa abajo para un ejercício de parcial, describiendo cada paso. ¿qué te parece? estoy por el uba XXI


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Avatar federico 9 de abril 12:16
Hola profe, en qué momento del video vemos que a=1?
Avatar Julieta Profesor 10 de abril 16:38
@federico Hola Fede! En el minuto 14:40 tenemos una expresión cuadrática polinómica igualada a cero, por lo que, para hallar los valores de $x$ vamos a usar la fórmula resolvente de cuadráticas. Ahora bien, para eso tenés que definir quién es $a$, $b$ y $c$. No te olvides que la fórmula de una cuadrática polinómica es: 

$ax^2 + bx + c$

Es decir que $a$ es el coeficiente (el numerito) que acompaña a la $x^2$, $b$ es el que acompaña a la $x$ y $c$ el número que no multiplica a nadie, está solito y por eso se llama término independiente. 

En la expresión que nos queda $x^2 + 3x + 2 = 0$, como no hay ningún número multiplicando a $x^2$ eso significa que $a=1$. Ojo con pensar que $a=0$, porque si fuese así, al multiplicar $x^2$ por cero, daría cero (como cualquier cosa que multipliques por cero). 

Para que quede más claro, sería lo mismo tener la expresión del pizarrón, que tener esto: $1x^2 + 3x + 2 = 0$
Avatar A 22 de abril 18:41
Hola Juli! Una consulta, mis profes me confirmaron que entrará lo de Bolzano en el parcial, pero vi el tema en estudio de funciones y hasta ahí ok, pero esto de la tabla no lo encuentro, tendrás algún vídeo disponible donde expliques eso por fas? :(
Avatar Julieta Profesor 22 de abril 20:23
@A Hola! Gracias!  Ahí estoy subiendo ejercicios para practicar a la sección "Ejercicios para seguir practicando" de esta unidad, así queda más claro. También buscá en los parciales!
Avatar A 22 de abril 20:53
@Julieta Está bien, muchas gracias <3
Avatar Damián 16 de abril 16:21
Buenas!, perdón pero no entendí como llegaste a esa factorización en el minuto 9:00...
Avatar Julieta Profesor 16 de abril 18:59
@Damián ¡Hola Dami! Jeje no hay problema, podría haber sido más clara jeje. 

Desde ya que podés hacer Bolzano tomando los valores de $x$ y reemplazándolos en la función y hacer la cuenta con la calculadora. 

La forma en que hago Bolzano en el video es otra manera (me gusta mostrarles las dos que hay y que ustedes usen la que prefieran). 
Esta forma se trata de factorizar la expresión (pasar de sumas y restas a productos de factores). Y acá tenemos que factorizar particularmente el primer paréntesis, donde tenemos una función polinómica de grado tres. 

En realidad, parte de las cuentas que voy a mostrarte las hicimos al principio del video, pero te muestro cómo quedarían para obtener esa expresión de la función $f$ factorizada:

$f(x) = (x^3 + 3x^2 + 2x)\left(x^2 + \frac{9}{4} \right)$


Vamos a factorizar la parte del polinomio de grado 3 (el primer paréntesis):


En $x^3 + 3x^2 + 2x$, todos los términos tienen $x$, así que sacamos $x$ como factor común.


$x^3 + 3x^2 + 2x   =   x(x^2 + 3x + 2)$


Ahora factoricemos la expresión cuadrática que quedó entre paréntesis, tal como hacemos siempre que pasamos de una cuadrática en su forma polinómica ($ax^2 + bx + c$), a una cuadrática en su forma factorizada ($a (x-x_1)(x-x_2)$): usamos la fórmula resolvente. En este caso obtenemos los dos valores: $x_1 = 1$ y $x_2 = 2$.

$ax^2 + bx + c = a (x-x_1)(x-x_2)$

Entonces la expresión cuadrática, factorizada va a ser: $1(x + 1)(x + 2)$, o sea $(x + 1)(x + 2)$



Es decir, que el polinomio de grado 3 (el primer paréntesis de la función original) nos queda así: 

$x(x + 1)(x + 2)$, porque $x^3 + 3x^2 + 2x = x(x + 1)(x + 2)$


Ahora reemplazamos eso en la función original.

La función era: $f(x) = (x^3 + 3x^2 + 2x)\left(x^2 + \frac{9}{4} \right)$


Y podemos reescribirla de forma factorizada así:

$f(x) = x(x + 1)(x + 2)\left(x^2 + \frac{9}{4} \right)$


Eso sí jeje, hay que ser prolijo para ver de dónde sale cada factor.
Avatar Natalia 27 de abril 23:34
Hola profe, en el Teorema de Bolzano, los extremos que colocaste -4 y 4, ésos números uno los puede elegir? o entendí mal
Avatar Julieta Profesor 29 de abril 13:33
@Natalia Hola Nati, sí, vos elegís el valor de $x$ que quieras, siempre dentro del intervalo que vos estás evaluando.
Avatar facundo 25 de abril 12:38
¿Bolzano entonces también iba a ser válido en la forma original de f? ¿O siempre usamos la factorizada al ser más cómodo?
Avatar Julieta Profesor 29 de abril 13:34
@facundo ¡Hola Facu! Es válido en ambas, factorizar a veces es útil si sos de meter la pata con la calculadora jeje, porque casi que no tenés que hacer cuentas complicadas. Peeeero podés hacerlo reemplazando el valor en la función sin factorizar y está perfecto. Te tiene que dar lo mismo.
Avatar Erika 25 de diciembre 02:24
Me encantó la explicación del Teorema de Bolzano y en los anteriores videos de Ruffini, me ha gustado mucho esta unidad de funciones polinómicas; súper claro y sencillo, gracias!
Avatar Julieta Profesor 8 de enero 18:51
@Erika ¡Qué bueno saber eso! Gracias por tu mensaje Eri ❤️
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